а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объёма линейно растёт с высотой: \(n = \alpha h\). Масса атома \(m\), длина его свободного пробега \(\lambda\), температура \(T\). Оцените плотность потока этих атомов на землю.
б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при 20 °C. Радиус молекул воды 0,21 нм, радиус молекул азота и кислорода 0,18 нм.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Плотность потока в одну сторону через площадку — примерно \(\bar v_z n/2\), где \(\bar v_z\sim\sqrt{kT/m}\). Сверху приходят атомы «с уровня» \(h+\lambda\), снизу — «с уровня» \(h-\lambda\):
\[ W = \frac{\bar v_z}{2}\,n_{h+\lambda} - \frac{\bar v_z}{2}\,n_{h-\lambda} = \frac{\bar v_z}{2}\,\alpha\big[(h+\lambda)-(h-\lambda)\big], \] \[ \boxed{W \approx \alpha\,\lambda\,\sqrt{\frac{kT}{m}}} \]Высота \(h\) выпала — поток одинаков на всех высотах, как и должно быть в стационарном режиме.
б. Тот же вывод, записанный через градиент, даёт закон Фика \(W=-D\,dn/dh\) с
\[ D \approx \frac13\,\lambda\,\bar v. \]Для водяного пара в воздухе \(d = r_{\text{H}_2\text{O}}+r_{\text{возд}} = 0{,}39\) нм; при 20 °C \(n = 2{,}5\cdot10^{25}\) м⁻³:
\[ \lambda \approx \frac{1}{\pi d^2 n} = \frac{1}{4{,}8\cdot10^{-19}\cdot2{,}5\cdot10^{25}} \approx 8\cdot10^{-8}\ \text{м}, \] \[ \bar v_{\text{H}_2\text{O}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}31\cdot293}{\pi\cdot0{,}018}} \approx 590\ \text{м/с}, \] \[ D \approx \frac13\cdot8\cdot10^{-8}\cdot590 \approx 1{,}6\cdot10^{-5}\ \frac{\text{м}^2}{\text{с}}. \] \[ \boxed{D \approx 2\cdot10^{-5}\ \text{м}^2/\text{с} \approx 0{,}2\ \text{см}^2/\text{с}} \]