Задача 5.3.7равновесие двух реакций
Условие
Определите отношение числа молекул вида \(A_2\), \(B_2\) к числу молекул вида \(AB\), если в смеси при столкновениях происходят реакции \(A_2+B_2\to 2AB\) и \(AB+AB\to A_2+B_2\). Число атомов \(A\) равно числу атомов \(B\), радиусы молекул \(A_2\), \(B_2\), \(AB\) равны соответственно \(r_{A_2}\), \(r_{B_2}\), \(r_{AB}\), масса молекул одинакова.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В равновесии обе реакции идут с одинаковой скоростью. А скорость каждой — это «число
подходящих столкновений в единицу времени», то есть произведение концентраций на сечение.
Массы одинаковы, значит все относительные скорости одинаковы и сокращаются.
Концентрации. Атомов \(A\) и \(B\) поровну, поэтому \(n_{A_2}=n_{B_2}\equiv x\).
Скорости реакций.
\[ \nu_1 = x^2\,\pi(r_{A_2}+r_{B_2})^2\,\bar v_{\text{отн}}, \qquad \nu_2 = \frac12\,n_{AB}^2\,\pi(2r_{AB})^2\,\bar v_{\text{отн}}. \](В \(\nu_2\) множитель \(1/2\) — потому что сталкиваются одинаковые молекулы.)
Равновесие \(\nu_1=\nu_2\):
\[ x^2(r_{A_2}+r_{B_2})^2 = 2\,n_{AB}^2\,r_{AB}^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{n_{AB}} = \frac{\sqrt2\,r_{AB}}{r_{A_2}+r_{B_2}}. \]Молекул вида \(A_2\) и \(B_2\) вместе \(2x\), поэтому
\[ \boxed{\frac{n_{A_2}+n_{B_2}}{n_{AB}} = \frac{2\sqrt2\,r_{AB}}{r_{A_2}+r_{B_2}}} \]Проверка.
Если все радиусы равны, отношение \(2\sqrt2/2=\sqrt2\) ✓ — не единица! Смещение в
пользу \(A_2,B_2\) возникает из-за множителя \(1/2\) в реакции одинаковых молекул:
паре \(AB+AB\) труднее «встретиться» ✓.
Ответ не зависит ни от температуры, ни от полной концентрации ✓ — как и положено
равновесию, определяемому только сечениями.
Ответ безразмерен ✓.
Чем крупнее \(AB\), тем чаще они сталкиваются и тем меньше их остаётся ✓ — логично.
Ответ
\((n_{A_2}+n_{B_2})/n_{AB} = 2\sqrt2\,r_{AB}/(r_{A_2}+r_{B_2})\).