Задача 5.3.6рекомбинация водорода
Условие
При нормальных условиях в 1 см³ атомарного водорода содержится \(2{,}7\cdot10^{19}\) атомов. Оцените время, в течение которого 0,1 часть атомов водорода превращается в молекулы водорода. Считать, что каждое столкновение двух атомов водорода приводит к образованию молекулы. Радиус атома водорода 0,06 нм.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Если каждое столкновение «срабатывает», то доля прореагировавших атомов за время \(t\)
равна просто числу столкновений на атом, \(\nu t\). Осталось найти \(\nu\).
Скорость атома водорода \((\mu = 1\) г/моль, \(T=273\) К\()\):
\[ \bar v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}31\cdot273}{\pi\cdot10^{-3}}} \approx 2400\ \text{м/с}. \]Частота столкновений \((d = 2r = 0{,}12\) нм\()\):
\[ \nu = \sqrt2\,\pi d^2 n\,\bar v = 1{,}41\cdot4{,}52\cdot10^{-20}\cdot2{,}7\cdot10^{25}\cdot2400 \approx 4\cdot10^{9}\ \text{с}^{-1}. \]Время. За время \(t\) прореагирует доля \(\approx\nu t\); приравняв 0,1:
\[ t \approx \frac{0{,}1}{\nu} = \frac{0{,}1}{4\cdot10^{9}} \approx 2{,}5\cdot10^{-11}\ \text{с}. \] \[ \boxed{t \approx 30\ \text{пс}} \]Проверка.
Тридцать пикосекунд ✓ — атомарный водород при атмосферном давлении живёт ничтожно мало,
поэтому его получают и хранят только в сильно разреженном виде.
Размерность ✓; доля 0,1 достаточно мала, чтобы можно было пренебречь убылью \(n\) ✓
(иначе пришлось бы решать \(dn/dt=-\nu n\)).
В действительности для образования молекулы нужен «третий партнёр», уносящий энергию
связи ✓; поэтому реальное время больше — но задача сознательно берёт идеализированный
случай.
Ответ \(t\approx30\) пс.