Задача 5.3.5пробег в смеси
Условие
В сосуде находится смесь двух газов. В единице объёма смеси содержится \(n_1\) молекул одного газа и \(n_2\) молекул другого. Радиус молекул соответственно \(R_1\) и \(R_2\). Оцените длину свободного пробега молекул этих газов.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Вероятности столкновений с «своими» и с «чужими» просто складываются, поэтому складываются
и обратные длины пробега.
Сечения. Столкновение молекулы 1 со «своей» — при сближении центров до \(2R_1\), сечение \(\pi(2R_1)^2 = 4\pi R_1^2\); с «чужой» — при сближении до \(R_1+R_2\), сечение \(\pi(R_1+R_2)^2\).
Складываем. (Множители порядка единицы, связанные с относительными скоростями, в оценке опускаем.)
\[ \boxed{\lambda_1 \sim \frac{1}{\pi\left[4R_1^2 n_1 + (R_1+R_2)^2n_2\right]}} \] \[ \boxed{\lambda_2 \sim \frac{1}{\pi\left[4R_2^2 n_2 + (R_1+R_2)^2n_1\right]}} \]Проверка.
При \(n_2=0\) остаётся \(\lambda_1 = 1/(4\pi R_1^2n_1)\) ✓ — обычный однокомпонентный
газ (с точностью до \(\sqrt2\)).
При \(R_1=R_2=R\) обе формулы дают \(1/(4\pi R^2(n_1+n_2))\) ✓ — как и должно быть,
смесь одинаковых по размеру молекул неотличима от одного газа.
Формулы симметричны при обмене индексов ✓.
Тяжёлая примесь с крупными молекулами резко укорачивает пробег лёгкого газа ✓ — именно
поэтому даже малая добавка пыли или пара заметно меняет перенос.
Размерность: 1/(м²·м⁻³) = м ✓.
Ответ
\(\lambda_{1,2}\sim\pi^{-1}\left[4R_{1,2}^2n_{1,2}+(R_1+R_2)^2n_{2,1}\right]^{-1}\).