Теплопроводность газов \(A_1\) и \(A_2\) равна соответственно \(\varkappa_1\) и \(\varkappa_2\). Определите теплопроводность смеси, в которой молекул газа \(A_1\) в \(\alpha\) раз больше, чем молекул газа \(A_2\). Температура газов одинакова, газы одноатомные. Молярная масса газов \(\mu_1\) и \(\mu_2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вклад одного сорта. \(\varkappa_i^{\text{см}} = \tfrac13 n_i\bar v_i\lambda_i\,c\), где \(c=\tfrac32k\) — теплоёмкость одной молекулы, а
\[ \frac1{\lambda_1} = \sqrt2\,n_1\sigma_{11}+n_2\sigma_{12}\sqrt{1+\frac{\mu_1}{\mu_2}}, \qquad \sigma_{ij}=\pi(r_i+r_j)^2. \]В чистом газе было \(1/\lambda_1^{(0)}=\sqrt2\,n\sigma_{11}\), поэтому
\[ \varkappa_1^{\text{см}} = \frac{\varkappa_1}{\,1+\dfrac{n_2}{n_1}\cdot \dfrac{\sigma_{12}}{\sqrt2\,\sigma_{11}}\sqrt{1+\mu_1/\mu_2}\,}, \]и симметрично для второго сорта. Радиусы выражаются через теплопроводности чистых газов: из \(\varkappa_i\propto1/(\sqrt{\mu_i}\,r_i^2)\) следует \(r_2/r_1 = \sqrt[4]{\mu_1/\mu_2}\cdot\sqrt{\varkappa_1/\varkappa_2}\). Подставляя \(n_1/n_2=\alpha\) и \(\sigma_{12}/\sigma_{11}=\big((r_1+r_2)/2r_1\big)^2\), получаем окончательно
\[ \boxed{\varkappa = \frac{\varkappa_1}{1+\dfrac{1}{4\alpha}\left(1+\sqrt{\dfrac{\varkappa_1}{\varkappa_2}} \sqrt[4]{\dfrac{\mu_1}{\mu_2}}\right)^{2}\sqrt{\dfrac{1+\mu_1/\mu_2}{2}}} + \frac{\varkappa_2}{1+\dfrac{\alpha}{4}\left(1+\sqrt{\dfrac{\varkappa_2}{\varkappa_1}} \sqrt[4]{\dfrac{\mu_2}{\mu_1}}\right)^{2}\sqrt{\dfrac{1+\mu_2/\mu_1}{2}}}} \](множитель \(\sqrt{(1+\mu_1/\mu_2)/2}\) — это \(\sqrt{1+\mu_1/\mu_2}\big/\sqrt2\): относительная скорость «чужих» столкновений, отнесённая к \(\sqrt2\) для «своих».)