Задача 5.3.14остывание в разреженном газе
Условие
В разреженном газе нагретое тело остывает за время \(t\). За какое время остынет тело из того же материала, если все его линейные размеры увеличить в \(n\) раз?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В разреженном газе (пробег больше размеров тела) молекулы прилетают прямо от стенок сосуда,
поэтому теплоотдача идёт с каждого квадратного метра поверхности одинаково — независимо от
размеров тела. А запас тепла пропорционален объёму.
\[ t \sim \frac{\text{запас тепла}}{\text{мощность отвода}}
\sim \frac{c\rho\,V\,\Delta T}{q\,S}
\propto \frac{V}{S} \propto L. \]
\[ \boxed{t' = n\,t} \]
Проверка.
Совпадает с задачей 5.1.9 (там время истечения тоже росло как \(L\)) ✓ — та же
геометрия «объём против поверхности».
Условие разреженности существенно ✓: в плотном газе или при теплопроводности через среду
поток идёт как \(\varkappa S\Delta T/L\), и тогда \(t\propto L^2\) — совсем другой
закон.
Практический вывод: крупные тела в вакууме остывают медленнее пропорционально размеру ✓ —
поэтому большие спутники термостабильнее маленьких.
Отношение поверхности к объёму падает как \(1/L\) ✓ — та же причина, по которой крупные
животные легче переносят холод.
Ответ \(t' = nt\).