Задача 5.3.3сколько столкновений
Условие
Оцените, сколько раз за 1 с в 1 см³ воздуха сталкиваются молекулы азота друг с другом и молекулы азота с молекулами кислорода.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Число столкновений в единице объёма — это «концентрация × концентрация × сечение ×
относительная скорость». Для пар одинаковых молекул надо ещё поделить на 2, чтобы не
считать каждое столкновение дважды.
Данные. \(n = 2{,}7\cdot10^{25}\) м⁻³, азота 78 % \((n_1 = 2{,}1\cdot10^{25}\) м⁻³), кислорода 21 % \((n_2 = 5{,}7\cdot10^{24}\) м⁻³); \(\pi d^2 = 4{,}07\cdot10^{-19}\) м²; \(\bar v_{\text{N}_2} = 454\) м/с, относительная скорость одинаковых молекул \(\sqrt2\,\bar v\).
Азот с азотом.
\[ \nu_1 = \frac12\,n_1^2\,\pi d^2\,\sqrt2\,\bar v = \frac{4{,}41\cdot10^{50}\cdot4{,}07\cdot10^{-19}\cdot642}{2} \approx 5{,}8\cdot10^{34}\ \frac{1}{\text{м}^3\text{с}}, \] \[ \boxed{\nu_1 \approx 6\cdot10^{28}\ \text{см}^{-3}\text{с}^{-1}} \]Азот с кислородом (делить на 2 не надо — молекулы разные; относительная скорость почти та же):
\[ \nu_2 = n_1 n_2\,\pi d^2\,\bar v_{\text{отн}} = 2{,}1\cdot10^{25}\cdot5{,}7\cdot10^{24}\cdot4{,}07\cdot10^{-19}\cdot622, \] \[ \boxed{\nu_2 \approx 3\cdot10^{28}\ \text{см}^{-3}\text{с}^{-1}} \]Проверка.
Отношение \(\nu_1/\nu_2 = 2\) ✓: \(n_1/(2n_2) = 2{,}1/(2\cdot0{,}57)\approx1{,}8\),
и с поправкой на относительные скорости получается около двух ✓.
Проверка через «на одну молекулу»: \(2\nu_1/n_1 = 5{,}5\cdot10^{9}\) с⁻¹ ✓ — согласуется
с оценкой \(\bar v/\lambda\) из задачи 5.3.2.
Порядок \(10^{28}\) в кубическом сантиметре за секунду ✓ — трудновообразимое число, но
именно оно обеспечивает мгновенное установление равновесия в газе.
Ответ
\(\nu_1\approx6\cdot10^{28}\), \(\nu_2\approx3\cdot10^{28}\) с⁻¹·см⁻³.