Задача 5.4.12диск разгоняется
Условие
Оцените скорость, с которой будет двигаться в сильно разреженном воздухе плоский диск, одна из сторон которого нагрета до 310 K, а другая — до 300 K. Температура воздуха 300 K.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Диск разгоняется радиометрической силой, пока её не уравновесит сопротивление (задача
5.4.5). Приравниваем и находим скорость.
Разгоняющее давление (задача 5.4.11):
\[ \Delta P_+ = \frac P2\left(\sqrt{\frac{310}{300}}-1\right) \approx \frac P2\cdot0{,}0165 = 8{,}3\cdot10^{-3}P. \]Тормозящее давление при скорости \(v\):
\[ \Delta P_- \approx 3{,}2\,P\,v\sqrt{\frac{\mu}{RT}}, \qquad \sqrt{\frac{\mu}{RT}} = \sqrt{\frac{0{,}029}{8{,}31\cdot300}} = 3{,}4\cdot10^{-3}\ \frac{\text{с}}{\text{м}}. \]Равновесие \(\Delta P_+=\Delta P_-\):
\[ v = \frac{8{,}3\cdot10^{-3}}{3{,}2\cdot3{,}4\cdot10^{-3}} \approx 0{,}8\ \text{м/с}. \] \[ \boxed{v \approx 1\ \text{м/с}} \]Проверка.
Давление \(P\) сократилось ✓ — скорость не зависит от степени разрежения (пока газ
разрежен), что довольно неожиданно и красиво.
Оценим иначе: \(v/\bar v\approx\Delta T/(4T)\cdot\ldots\) — порядок
\(\bar v\cdot10^{-3}=0{,}5\) м/с ✓, сходится.
Метр в секунду для «самодвижущегося» диска ✓ — вполне заметно; на этом принципе строят
радиометрические микродвигатели.
Размерность ✓.
Ответ \(v\approx1\) м/с.