Задача 5.4.13две пластины
Условие
Две одинаковые параллельные пластины площади \(S\) каждая расположены в сосуде близко друг к другу; их температура \(T_1\) и \(T_2\), температура стенок сосуда \(T_1\). Пластины отталкиваются друг от друга с силой \(F\). Оцените давление разреженного газа в сосуде.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Между пластинами молекулы «челночат»: прилетев от холодной пластины (\(T_1\)), они
уходят с горячей (\(T_2\)) быстрее. Разность давлений на внутренние и наружные
поверхности и есть отталкивание.
Давление снаружи (там и газ, и стенки при \(T_1\)) равно обычному \(P\). Внутри, на горячую пластину, молекулы прилетают с \(T_1\), а улетают с \(T_2\):
\[ P_{\text{вн}} = \frac P2\left(1+\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\right). \] \[ \Delta P = P_{\text{вн}} - P = \frac P2\left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}-1\right) \approx \frac{P}{4}\cdot\frac{T_2-T_1}{T_1}. \]Сила \(F = \Delta P\,S\), откуда
\[ \boxed{P \approx \frac{4F\,T_1}{S\,(T_2-T_1)} \sim \frac{F\,T_1}{S(T_2-T_1)}} \]Проверка.
Размерность: Н/м² = Па ✓.
Чем меньше разность температур, тем больше должно быть давление, чтобы дать ту же силу ✓.
При \(T_2=T_1\) сила исчезает ✓ — никакого отталкивания у одинаковых пластин нет.
Численный множитель (4 при линеаризации) в задачнике опущен ✓ — задача на оценку, важен
вид зависимости \(P\propto FT_1/[S(T_2-T_1)]\).
Это рабочая формула радиометрического манометра Кнудсена ✓ — прибора, измеряющего давление
по силе отталкивания нагретых пластин.
Ответ
\(P \sim F T_1/[S(T_2-T_1)]\) (с точностью до множителя порядка единицы).