Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.4. Разреженные газы. Взаимодействие молекул с поверхностью

Савченко, задача 5.4.15

Задача 5.4.15полость между двумя резервуарами

Условие

Теплоизолированная полость сообщается через небольшие одинаковые отверстия с двумя другими полостями, содержащими гелий, давление которого равно \(P\), а температура — \(T\) в одной полости и \(2T\) в другой. Найдите давление и температуру, установившиеся внутри этой полости. Газы разрежены.

К задаче 5.4.15 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Два баланса: по числу частиц и по энергии. Ключевой факт — эффундирующая молекула уносит в среднем \(2kT\), а не \(\tfrac32kT\) (задача 5.2.7).

Обозначения. \(n_1 = P/kT\), \(n_2 = P/(2kT)\); внутри — \(n'\), \(T'\). Поток \(\propto n\sqrt T\), энергопоток \(\propto n\sqrt T\cdot2kT\).

Частицы:

\[ n_1\sqrt T + n_2\sqrt{2T} = 2\,n'\sqrt{T'} \ \Longrightarrow\ \frac{P}{k\sqrt T}\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right) = 2n'\sqrt{T'}. \]

Энергия:

\[ n_1\sqrt T\cdot 2kT + n_2\sqrt{2T}\cdot 2k\,(2T) = 2n'\sqrt{T'}\cdot2kT', \] \[ 2P\sqrt T\,(1+\sqrt2) = 2n'\sqrt{T'}\cdot 2kT'. \]

Делим второе на первое:

\[ \frac{2P\sqrt T(1+\sqrt2)}{\dfrac{P}{k\sqrt T}\cdot\dfrac{2+\sqrt2}{2}} = 2kT' \ \Longrightarrow\ T' = \frac{2T(1+\sqrt2)}{2+\sqrt2} = T\sqrt2. \] \[ \boxed{T' = T\sqrt2 \approx 1{,}41\,T} \]

Давление. Из баланса частиц \(n' = \dfrac{P(2+\sqrt2)}{4kT\,2^{1/4}}\), и

\[ P' = n'kT' = \frac{P(2+\sqrt2)}{4\cdot2^{1/4}}\cdot\sqrt2 = \boxed{P\,(1+\sqrt2)\,2^{-5/4} \approx 1{,}015\,P} \]

Проверка. \(T'=T\sqrt2\) — это среднее геометрическое температур \(T\) и \(2T\) ✓, красивый и характерный для эффузии результат (не среднее арифметическое \(1{,}5T\)!). Давление получилось чуть больше \(P\) ✓: \(2^{-5/4}(1+\sqrt2)=1{,}0149\) — маленький, но настоящий эффект. Проверка предельного случая: если обе температуры равны \(T\), формулы дают \(T'=T\), \(P'=P\) ✓. Согласованность с задачей 5.4.14: там \(P\propto\sqrt T\) ✓, и здесь \(P'/\sqrt{T'} = 1{,}015P/2^{1/4}\sqrt T\) — как и должно быть, «потоковое» условие выполнено ✓.

Ответ \(T' = T\sqrt2\), \(P' = P(1+\sqrt2)\,2^{-5/4}\approx1{,}02\,P\).

Следующая задача 5.4.16 →