Задача 5.4.16поток тепла между пластинами
Условие
Между двумя плоскими параллельными пластинами, расположенными на расстоянии \(\delta\) друг от друга, находится одноатомный газ (длина свободного пробега много больше \(\delta\)). Оцените плотность потока тепла, если температура пластин равна \(T\) и \(T+\Delta T\), а в единице объёма газа содержится \(n\) атомов; \(\mu\) — масса атома.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Атомы летят от пластины к пластине напрямую. Каждый «рейс» переносит энергию, равную
разности \(2k\Delta T\) (эффундирующая частица несёт \(2kT\)). Умножаем на поток.
\[ w \sim \frac14\,n\,\bar v\cdot 2k\,\Delta T
= \frac12\,n\,k\,\Delta T\,\bar v, \qquad
\bar v \sim \sqrt{\frac{3kT}{\mu}}. \]
\[ \boxed{w \sim n\,k\,\Delta T\,\sqrt{\frac{3kT}{\mu}}} \]
(Задачник приводит этот результат с коэффициентом \(1{,}5\) — числовой множитель здесь порядка единицы и зависит от того, какую именно среднюю скорость брать.)
Проверка.
Поток не зависит от \(\delta\) ✓ — принципиальное отличие от обычной
теплопроводности, где \(w\propto1/\delta\). Так и должно быть: расстояние атом
пролетает без столкновений.
Зато \(w\propto n\) ✓ — прямо пропорционально давлению; на этом работают тепловые
манометры (задача 5.4.17).
Размерность: м⁻³·(Дж/К)·К·(м/с) = Вт/м² ✓.
Сшивка с плотным газом: при \(\lambda\sim\delta\) обе формулы дают одно и то же ✓
(см. задачу 5.4.19).
Ответ
\(w \sim nk\Delta T\sqrt{3kT/\mu}\); от расстояния между пластинами не зависит.