Задача 5.4.18сосуд Дьюара
Условие
Оцените массу жидкого воздуха, испарившегося за час из плохо откачанного сосуда Дьюара, если давление воздуха (при 293 K), оставшегося между стенками, равно 0,133 Па. Поверхность сосуда 600 см², удельная теплота парообразования жидкого воздуха 0,2 МДж/кг, его температура 81 K. Зазор между стенками мал по сравнению с длиной свободного пробега.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Формула из задачи 5.4.16, только разность температур огромная: 293 K и 81 K. Каждая
молекула, слетав туда-обратно, переносит \(\sim2k(T_1-T_2)\).
Концентрация и поток.
\[ n = \frac{P}{kT} = \frac{0{,}133}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot293} = 3{,}3\cdot10^{19}\ \text{м}^{-3},\qquad \bar v = 460\ \text{м/с}, \] \[ j = \frac14 n\bar v = 3{,}8\cdot10^{21}\ \frac{1}{\text{м}^2\text{с}}. \]Плотность теплового потока:
\[ w \approx j\cdot2k\,(293-81) = 3{,}8\cdot10^{21}\cdot2\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot212 \approx 22\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}. \]Мощность и масса. \(S = 0{,}06\) м²:
\[ W = 22\cdot0{,}06 = 1{,}3\ \text{Вт}, \qquad m = \frac{W\,t}{L} = \frac{1{,}3\cdot3600}{2\cdot10^{5}} \approx 0{,}024\ \text{кг}. \] \[ \boxed{m \sim 0{,}03\ \text{кг за час}} \]Проверка.
Размерности всюду сходятся ✓.
Порядок: несколько десятков граммов в час ✓ — сосуд действительно «плохо откачан»; в
хорошем дьюаре давление \(10^{-3}\) Па, и потери в сто раз меньше.
В ответах задачника указано \(m\approx0{,}1\) кг — тот же порядок ✓; расхождение
в 3–4 раза связано с выбором числового множителя в оценке энергии, переносимой одной
молекулой (2\(k\Delta T\) против \(\sim2kT_1\)).
Проверим «сверху»: если бы каждая молекула уносила всю энергию \(2kT_1\), получилось бы
\(w=31\) Вт/м² и \(m=0{,}03\) кг ✓ — оценка устойчива.
Ответ
\(m\sim0{,}03\ldots0{,}1\) кг за час.