Задача 5.4.19насыщение теплового потока
Условие
Из-за небольшой разницы температур двух параллельных пластин между ними в разреженном газе, в единице объёма которого содержится \(n\) частиц, возник тепловой поток \(W_1\). При увеличении давления поток сначала растёт, а затем, достигнув \(W_2\), перестаёт зависеть от давления. Объясните эффект. Оцените радиус молекул газа. Расстояние между пластинами \(\delta\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Два режима. Пока \(\lambda\gg\delta\), поток растёт как \(n\) (задача 5.4.16). Когда
\(\lambda\ll\delta\), включается обычная теплопроводность, не зависящая от давления
(задача 5.3.11). Перелом — при \(\lambda\approx\delta\).
Где перелом. В точке насыщения концентрация \(n_{\text{гр}}\) такова, что
\[ \lambda = \frac{1}{\pi d^2 n_{\text{гр}}} = \delta, \qquad d = 2r \ \Longrightarrow\ n_{\text{гр}} = \frac{1}{4\pi r^2\delta}. \]Связь потоков. В разреженном режиме \(W\propto n\), значит
\[ \frac{W_1}{W_2} = \frac{n}{n_{\text{гр}}} = 4\pi r^2\delta\,n, \] \[ \boxed{r \approx \sqrt{\frac{W_1}{4\pi\,n\,\delta\,W_2}} \sim \sqrt{\frac{W_1}{\pi n\delta W_2}}} \]Проверка.
Размерность: \(\sqrt{1/(\text{м}^{-3}\cdot\text{м})}=\) м ✓.
\(W_1<W_2\), значит \(r\) получается меньше \(\sqrt{1/(\pi n\delta)}\) ✓ — разумно.
Числом: \(n=10^{21}\) м⁻³, \(\delta=1\) см, \(W_1/W_2 = 0{,}05\):
\(r=\sqrt{0{,}05/(4\pi\cdot10^{21}\cdot10^{-2})}
= \sqrt{4\cdot10^{-22}} = 2\cdot10^{-11}\)… — маловато; при более реалистичном
\(W_1/W_2=0{,}5\) выйдет \(6{,}3\cdot10^{-11}\) м, то есть десятые доли ангстрема.
Метод хорош качественно ✓: он позволяет измерить размеры молекул, просто наблюдая, где
«загибается» кривая теплового манометра.
Физическая суть перелома: тепло переносится «эстафетой», и когда эстафета становится
многоступенчатой, число носителей растёт, а длина каждого шага падает — эффекты гасят
друг друга ✓.
Ответ
\(r\sim\sqrt{W_1/(\pi n\delta W_2)}\).