Задача 5.4.3сопротивление быстрого шара
Условие
В разреженном газе с постоянной скоростью \(v\) движется шар радиуса \(r\). Число молекул в единице объёма \(n\), масса молекулы \(m\), тепловые скорости молекул значительно меньше скорости шара. Оцените силу сопротивления.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Молекулы можно считать неподвижными. Шар «выметает» цилиндр сечением \(\pi r^2\) и
сообщает каждой встреченной молекуле скорость порядка \(v\).
\[ \text{за } \Delta t:\quad
\Delta N = n\,\pi r^2\,v\,\Delta t, \qquad
\Delta p = \Delta N\cdot m v, \]
\[ \boxed{F \approx \pi r^2\,n\,m\,v^2 = \pi r^2\rho v^2} \]
Проверка.
Знакомая «квадратичная» формула сопротивления ✓ с коэффициентом порядка единицы; при
зеркальном отражении молекул сила была бы вдвое больше.
Размерность: м²·(кг/м³)·(м²/с²) = Н ✓.
В плотном газе формула та же по виду ✓, но там она работает по совсем другой причине
(обтекание), и коэффициент другой.
Проверка предельного случая: при \(v\to0\) сила \(\to0\) квадратично ✓ — но тогда
условие \(v\gg\bar v\) нарушается и надо пользоваться задачей 5.4.5.
Ответ \(F\approx\pi r^2nmv^2\).