Задача 5.4.5медленный диск
Условие
В разреженном газе с молярной массой \(\mu\) движется диск радиуса \(r\) с постоянной скоростью \(v\), направленной вдоль оси диска. Оцените силу сопротивления. Скорость диска много меньше тепловой скорости молекул. Давление газа \(P\), температура \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Теперь молекулы быстрые, а диск медленный. Спереди он «догоняет» молекулы, сзади «убегает»
от них: поток спереди чуть больше, сзади чуть меньше. Разность и даёт сопротивление.
Асимметрия потоков. Спереди на единицу площади в секунду приходит \(\tfrac14 n(\bar v+2v)\) молекул… точнее, добавка к потоку \(\sim nv/2\), и каждая молекула передаёт импульс \(\sim m\bar v\). В итоге избыточное давление спереди и недостаток сзади дают
\[ \Delta P \sim 2\,\rho\,\bar v\,v, \qquad \rho = nm = \frac{P\mu}{RT}, \qquad \bar v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}. \] \[ \Delta P \sim 2\,\frac{P\mu}{RT}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\,v = 2\sqrt{\frac{8}{\pi}}\;P\,v\sqrt{\frac{\mu}{RT}} \approx 3{,}2\,P v\sqrt{\frac{\mu}{RT}}. \] \[ \boxed{F = \Delta P\cdot\pi r^2 \approx 4\pi r^2 P\,v\sqrt{\frac{\mu}{RT}}} \]Проверка.
Сила линейна по \(v\) ✓ — в отличие от «быстрого» случая (задача 5.4.3), где она
квадратична; переход между режимами происходит при \(v\sim\bar v\) ✓, и там обе формулы
дают \(F\sim\rho\bar v^2\pi r^2\) — сшивка есть.
Размерность: Па·(м/с)·\(\sqrt{(\text{кг/моль})/(\text{Дж/моль})}\) = Па·(м/с)·(с/м) =
Па ✓, умножаем на м² — ньютоны ✓.
Сила растёт с давлением ✓ и убывает с температурой как \(1/\sqrt T\) ✓.
Числом: \(r=5\) см, \(P=1\) Па, \(T=300\) К, воздух, \(v=1\) м/с:
\(F\approx4\pi\cdot2{,}5\cdot10^{-3}\cdot1\cdot3{,}4\cdot10^{-3}
\approx10^{-4}\) Н ✓ — крошечная, но измеримая крутильными весами.
Ответ
\(F\approx4\pi r^2Pv\sqrt{\mu/(RT)}\).