В разреженном газе с молярной массой \(\mu\) движется пластина вдоль своей плоскости.
Оцените, какую силу необходимо прикладывать к пластине, чтобы она двигалась с постоянной
скоростью \(v\). Площадь пластины \(S\), давление газа \(P\), температура \(T\).
Скорость пластины мала по сравнению с тепловой скоростью молекул.
К задаче 5.4.7 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Молекула прилетает «ниоткуда» (без продольной скорости), а улетает с пластины уже унося
её продольный импульс \(mv\). Каждый удар отбирает у пластины импульс \(mv\).
Поток на одну сторону: \(\tfrac14 n\bar v\). Сторон две:
\[ F = 2\cdot\frac14\,n\bar v\,S\cdot m v
= \frac12\,\rho\,\bar v\,v\,S
= \frac12\cdot\frac{P\mu}{RT}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\,vS, \]
\[ \boxed{F \approx P\,S\,v\sqrt{\frac{\mu}{RT}}} \]
Проверка.
Численный множитель \(\tfrac12\sqrt{8/\pi}=0{,}8\) — единица с точностью до оценки ✓.
Сравним с задачей 5.4.5: там сила была примерно вчетверо больше при той же площади ✓ —
лобовое сопротивление и правда сильнее «трения вдоль».
Сила не зависит от расстояния до стенок ✓ — характерный признак разреженного газа: понятия
«градиента скорости» тут нет.
Размерность ✓. Именно так работают вязкостные вакуумметры ✓: измеряя торможение
вращающегося шарика, определяют давление.