Задача 5.4.9коаксиальные цилиндры
Условие
Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса \(r_1\) и \(r_2\) находится разреженный газ. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\). Оцените угловую скорость внешнего цилиндра.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В разреженном газе молекула летит от одного цилиндра до другого по прямой, а вдоль
прямой сохраняется момент импульса относительно оси. Внешний цилиндр свободен, значит
суммарный момент, который он получает, равен нулю.
Момент импульса молекулы. Уходя с внутреннего цилиндра, молекула имеет касательную скорость \(\omega r_1\) и момент импульса
\[ L_1 = m\,\omega r_1\cdot r_1 = m\,\omega r_1^2, \]и он сохраняется до самого удара о внешний цилиндр. Уходя с внешнего цилиндра (вращающегося с \(\omega'\)), молекула уносит
\[ L_2 = m\,\omega' r_2^2. \]Нулевой суммарный момент на внешний цилиндр даёт \(L_1 = L_2\):
\[ \boxed{\omega' = \omega\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{2}} \]Проверка.
При \(r_2\to r_1\) получаем \(\omega'\to\omega\) ✓ — узкий зазор, цилиндры
«сцеплены».
При \(r_2\gg r_1\) внешний почти неподвижен ✓.
Ответ не зависит ни от плотности газа, ни от массы молекул, ни от температуры ✓ — красивое
следствие сохранения момента импульса.
Обратите внимание: наивный ответ «\(\omega'=\omega r_1/r_2\)» (равенство линейных
скоростей) неверен ✓ — молекула летит по прямой, а не по дуге, и её момент импульса, а не
скорость, остаётся прежним.
Ответ \(\omega' = \omega(r_1/r_2)^2\).