Нижний конец вертикальной узкой трубки длины \(2L\) (в мм) запаян, а верхний открыт в атмосферу. В нижней половине трубки находится газ при температуре \(T_0\), а верхняя её половина заполнена ртутью. До какой минимальной температуры надо нагреть газ в трубке, чтобы он вытеснил всю ртуть? Внешнее давление в миллиметрах ртутного столба равно \(L\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Пусть газ занял длину \(L+x\) (вытеснено \(x\) мм ртути), \(0\le x\le L\). Оставшийся столб ртути \(L-x\), давление газа (в мм рт. ст.)
\[ P = L + (L-x) = 2L-x. \]Уравнение состояния (объём \(\propto\) длине):
\[ \frac{P\,(L+x)}{T} = \frac{2L\cdot L}{T_0} \ \Longrightarrow\ T = T_0\,\frac{(2L-x)(L+x)}{2L^2}. \]Максимум. Числитель — парабола с ветвями вниз, максимум при
\[ x = \frac{2L-L}{2} = \frac L2, \qquad T_{\max} = T_0\,\frac{(2L-L/2)(L+L/2)}{2L^2} = T_0\,\frac{\tfrac32L\cdot\tfrac32L}{2L^2}. \] \[ \boxed{T_{\max} = \frac98\,T_0 = 1{,}125\,T_0} \]Нагрев до этой температуры — необходимое и достаточное условие: пройдя точку \(x=L/2\), газ вытолкнет остаток ртути сам, ведь дальше требуемая температура только падает.