Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.5. Уравнение состояния идеального газа

Савченко, задача 5.5.18

Задача 5.5.18тяжёлый поршень

Условие

В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжёлый поршень. Масса газа и его температура над поршнем и под ним одинаковы. Отношение объёма верхней части к объёму нижней равно 3. Каким будет это отношение, если температуру газа увеличить в два раза?

К задаче 5.5.18 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Давление снизу больше на \(mg/S\) — эта величина не меняется. А сумма объёмов постоянна: сосуд закрыт.

Начало. Обозначим \(V_{\text{н}}=V\), тогда \(V_{\text{в}}=3V\). Одинаковые \(\nu\) и \(T\) дают \(P_{\text{в}}\cdot3V = P_{\text{н}}\cdot V\), то есть

\[ P_{\text{н}} = 3P_{\text{в}}, \qquad \frac{mg}{S} = P_{\text{н}}-P_{\text{в}} = 2P_{\text{в}} = \frac{2\nu RT}{3V}. \]

После нагрева до \(2T\): пусть объёмы стали \(a\) (верх) и \(b\) (низ), \(a+b = 4V\). Из \(PV=\nu RT\):

\[ P_{\text{в}}' = \frac{2\nu RT}{a}, \qquad P_{\text{н}}' = \frac{2\nu RT}{b}, \qquad \frac{2\nu RT}{b}-\frac{2\nu RT}{a} = \frac{2\nu RT}{3V}. \] \[ \frac1b-\frac1a = \frac{1}{3V} \quad\Longrightarrow\quad 3V(a-b) = ab, \qquad a+b = 4V. \]

Подставляя \(a = 4V-b\), получаем \(b^2-10Vb+12V^2=0\), откуда \(b = V(5-\sqrt{13}) = 1{,}39V\), \(a = 2{,}61V\):

\[ \boxed{\frac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}} = \frac{2{,}61}{1{,}39} \approx 1{,}9} \]

Проверка. Отношение уменьшилось с 3 до 1,9 ✓ — при нагреве давления растут, а разность \(mg/S\) остаётся прежней, значит относительная разница давлений падает и поршень стремится к середине. Предел \(T\to\infty\): отношение \(\to1\) ✓ — вес поршня становится несущественным. Проверим корень: \(b=1{,}394V\), \(a=2{,}606V\); \(1/b-1/a = 0{,}7174-0{,}3837 = 0{,}3337 \approx 1/3\) ✓. Второй корень \(b = V(5+\sqrt{13}) = 8{,}6V > 4V\) — не годится ✓.

Ответ \(V_{\text{в}}/V_{\text{н}} \approx 1{,}9\).

Следующая задача 5.5.19 →