В цилиндрический сосуд высоты \(H\) через крышку вертикально вставлена немного не
доходящая до дна тонкостенная трубка длины \(l\). Соединение герметично. В сосуд через
трубку наливают жидкость. Найдите высоту уровня жидкости от дна сосуда, когда трубка
заполняется жидкостью. Атмосферное давление \(P_0\), плотность жидкости \(\rho\).
К задаче 5.5.19 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Воздух в сосуде заперт и сжимается по закону Бойля. А давление этого воздуха связано с
атмосферным через столб жидкости в трубке.
Сжатие воздуха. Уровень поднялся до \(x\), воздуху осталось \(H-x\):
\[ P = P_0\,\frac{H}{H-x}. \]
Столб в трубке. Трубка заполнена доверху (её верхний конец на высоте \(l\) от
дна), сверху атмосфера. Идём вниз по жидкости от верха трубки до уровня \(x\):
Проверка.
Берём меньший корень ✓ — больший превысил бы и \(H\), и \(l\).
При \(P_0\to\infty\) (несжимаемый «жёсткий» воздух) \(x\to0\) ✓ — жидкость вовсе не
входит.
При \(P_0\to0\) уравнение даёт \(x^2-x(l+H)+lH=0\), корни \(x=l\) и \(x=H\);
берём меньший ✓ — жидкость поднимается до нижнего из двух уровней.
Размерность: все слагаемые — метры ✓.
Числом: \(H=0{,}5\) м, \(l=1\) м, вода, \(P_0/\rho g = 10{,}2\) м:
\(x = \tfrac12[11{,}7-\sqrt{136{,}9-2}] = \tfrac12[11{,}7-11{,}61] = 0{,}043\) м ✓ —
всего 4 см: воздух почти не сжимается.
Ответ
\(x = \tfrac12\left[l+H+\dfrac{P_0}{\rho g}-\sqrt{\left(l+H+\dfrac{P_0}{\rho g}\right)^2-4lH}\right]\).