В вертикальном цилиндрическом сосуде над поршнем \(A\) находится газ, закрытый поршнем \(B\), на который до верха цилиндра налита жидкость плотности \(\rho\). На какое расстояние \(x\) надо поднять поршень \(A\), чтобы над поршнем \(B\) остался столб жидкости высоты \(H\)? Массой поршня \(B\) и трением пренебречь. Атмосферное давление \(P_0\), начальная высота столба жидкости \(H_0\), столба газа \(h_0\). Температура не меняется.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Давления. Вначале \(P_1 = P_0+\rho g H_0\), в конце \(P_2 = P_0+\rho gH\).
Объём газа. Поршень \(A\) поднялся на \(x\); жидкости стало меньше на \((H_0-H)\) — она перелилась через край. Поршень \(B\) поднялся до верха, значит высота газового столба
\[ h_2 = h_0 - x + (H_0-H). \]Закон Бойля \(P_1h_0 = P_2h_2\):
\[ (P_0+\rho gH_0)\,h_0 = (P_0+\rho gH)\,\big[h_0-x+(H_0-H)\big]. \]Решая относительно \(x\) и упрощая, получаем компактный ответ
\[ \boxed{x = (H_0-H)\left(1-\frac{\rho g h_0}{P_0+\rho gH}\right)} \]