На поверхности жидкости плотности \(\rho\) плавает цилиндрический тонкостенный стакан, наполовину погружённый в жидкость.
а. На сколько погрузится стакан, если его поставить на поверхность вверх дном? Высота стакана \(h\), давление воздуха \(P_0\).
б. На какую глубину нужно погрузить перевёрнутый стакан, чтобы он вместе с заключённым в нём воздухом пошёл ко дну?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Масса стакана. Плавая обычным образом, он погружён на \(h/2\), значит
\[ m = \rho S\,\frac h2, \qquad S — \text{площадь дна}. \]а. Где стои́т вода внутри. Стенки тонкие, поэтому вытесненный объём — это объём воздушной полости ниже наружного уровня. Если вода внутри стои́т на \(y\) ниже наружного уровня, то вытеснено \(Sy\), и
\[ \rho S y\,g = mg = \rho S\frac h2 g \quad\Longrightarrow\quad y = \frac h2. \]Давление воздуха равно давлению жидкости на этом уровне:
\[ P = P_0+\rho g\frac h2 = \frac{2P_0+\rho gh}{2}. \]Длина воздушного столба по закону Бойля \(P_0h = P\,a\):
\[ a = \frac{2P_0h}{2P_0+\rho gh}. \]Глубина погружения кромки. Кромка стакана ниже внутреннего уровня воды на \(h-a\), а сам внутренний уровень — на \(h/2\) ниже наружного:
\[ H = \frac h2+(h-a) = \frac{3h}{2}-\frac{2P_0h}{2P_0+\rho gh}, \] \[ \boxed{H = \frac h2\left(1+\frac{2\rho g h}{2P_0+\rho gh}\right)} \]б. Когда утонет. Стакан тонет, как только вытесненный объём (то есть объём воздуха) станет меньше \(Sh/2\), — а для этого воздух должен сжаться более чем вдвое, то есть его давление должно превысить \(2P_0\):
\[ P_0+\rho g\,d > 2P_0 \quad\Longrightarrow\quad d > \frac{P_0}{\rho g}, \]где \(d\) — глубина уровня воды внутри стакана. Кромка при этом ещё на \(h/2\) глубже (воздушный столб как раз \(h/2\)):
\[ \boxed{H = \frac h2+\frac{P_0}{\rho g}} \]