В прямоугольном сосуде с непроницаемыми стенками находится слева тяжёлая жидкость (например, ртуть), отделённая подвижным тонким поршнем от воздуха в правой части сосуда. В начальный момент поршень находится в равновесии и делит объём сосуда пополам. На сколько сместится поршень вправо, если температура системы уменьшится в три раза? Тепловым расширением ртути и стенок пренебречь. Трения нет. Длина сосуда \(2a\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Равновесие поршня. Пусть высота сосуда \(H\), ширина \(w\), ртуть занимает длину \(L\) и стои́т на высоту \(h_{\text{р}}\) (над ней — пустота: пары ртути ничтожны). Объём ртути не меняется: \(L\,h_{\text{р}} = a H\).
Сила ртути на поршень (треугольная эпюра давления): \(F_{\text{р}} = \rho g h_{\text{р}}^2 w/2\); сила газа \(F = P H w\). Отсюда
\[ P = \frac{\rho g\,h_{\text{р}}^2}{2H}. \]Начало: \(L=a\), \(h_{\text{р}}=H\), значит \(P_1 = \rho gH/2\).
После: поршень сместился на \(x\) вправо, \(L=a+x\), \(h_{\text{р}} = aH/(a+x)\):
\[ P_2 = \frac{\rho g}{2H}\cdot\frac{a^2H^2}{(a+x)^2} = \frac{\rho g\,a^2H}{2(a+x)^2}. \]Газ: объём был \(aHw\), стал \((a-x)Hw\); температура упала втрое:
\[ \frac{P_1\,a}{T} = \frac{P_2\,(a-x)}{T/3} \ \Longrightarrow\ P_1a = 3P_2(a-x). \]Подставляя, получаем \(a = \dfrac{3a^2(a-x)}{(a+x)^2}\), то есть
\[ (a+x)^2 = 3a\,(a-x) \ \Longrightarrow\ x^2+5ax-2a^2 = 0, \] \[ \boxed{x = \frac{a\left(\sqrt{33}-5\right)}{2} \approx 0{,}37\,a} \]