Задача 5.5.23пузырёк всплыл
Условие
Герметически закрытый бак заполнен жидкостью так, что на дне его имеется пузырёк воздуха. Давление на дно бака \(P_0\). Каким оно станет, если пузырёк всплывёт? Высота бака \(H\), плотность жидкости \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Жидкость несжимаема, стенки жёсткие — значит объём пузырька не может измениться. А
раз объём тот же, то и давление в нём то же самое.
Объём фиксирован. Полный объём бака постоянен, объём жидкости постоянен, значит объём пузырька постоянен. По закону Бойля его давление тоже не меняется:
\[ P_{\text{пуз}} = P_0 \quad\text{(и внизу, и наверху)}. \]Давление на дно. Когда пузырёк наверху, его давление \(P_0\) — это давление у крышки; спускаясь на \(H\), прибавляем гидростатику:
\[ \boxed{P = P_0 + \rho g H} \]Проверка.
Неожиданно, но верно: всплывание пузырька повышает давление на дно ✓ — жидкость
«навалилась» на дно, а её опорой стал не сжимаемый пузырёк, а жёсткая крышка.
Проверка энергией: пузырёк поднялся, жидкость опустилась — центр тяжести системы понизился;
давление на дно выросло ✓, всё согласовано.
При \(H\to0\) ничего не меняется ✓.
Существенны и герметичность, и несжимаемость ✓: в открытом баке давление на дно осталось бы
прежним.
Ответ \(P = P_0+\rho gH\).