Задача 5.5.24два пузырька
Условие
Герметически закрытый бак высоты 3 м заполнен водой так, что на дне находятся два одинаковых пузырька воздуха. Давление на дно 0,15 МПа. Каким станет давление, если всплывёт один пузырёк? два пузырька?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Суммарный объём газа фиксирован (вода несжимаема), но между двумя пузырьками он теперь
перераспределяется: верхний в области меньшего давления раздувается, нижний сжимается.
Гидростатический перепад: \(\rho gH = 10^3\cdot9{,}8\cdot3 = 0{,}0294\) МПа.
Один всплыл. Пусть \(P_{\text{в}}\) — давление у крышки, тогда на дне \(P_{\text{н}} = P_{\text{в}}+\rho gH\). Объёмы по Бойлю: \(V_{\text{в}} = P_0V/P_{\text{в}}\), \(V_{\text{н}} = P_0V/P_{\text{н}}\), а сумма равна \(2V\):
\[ \frac{1}{P_{\text{в}}}+\frac{1}{P_{\text{в}}+\rho gH} = \frac{2}{P_0}. \]Численно (в МПа): \(1/p + 1/(p+0{,}0294) = 13{,}33\), откуда \(p = 0{,}1367\) МПа и
\[ \boxed{P_1 = p+\rho gH = 0{,}166 \approx 0{,}17\ \text{МПа}} \]Оба всплыли. Они одинаковы и оба у крышки, суммарный объём \(2V\) не изменился, значит и давление в них прежнее \(P_0\):
\[ \boxed{P_2 = P_0+\rho gH = 0{,}15+0{,}0294 \approx 0{,}18\ \text{МПа}} \]Проверка.
Второй случай — это в точности задача 5.5.23 ✓.
Промежуточный случай даёт промежуточный ответ: \(0{,}15<0{,}166<0{,}179\) ✓.
Проверим объёмы в первом случае: \(V_{\text{в}} = 0{,}15V/0{,}1367 = 1{,}097V\),
\(V_{\text{н}} = 0{,}15V/0{,}166 = 0{,}903V\), сумма \(2{,}00V\) ✓.
Физика проста: чем больше газа «переехало» наверх, тем сильнее вода давит на дно ✓.
Ответ
\(P_1\approx0{,}17\) МПа, \(P_2\approx0{,}18\) МПа.