Задача 5.5.28стратостат
Условие
Водород заполняет только верхнюю часть оболочки стратостата. В нижней части находится воздух, свободно проникающий в оболочку через отверстие снизу. При какой наибольшей массе стратостат станет подниматься, если масса водорода в оболочке равна \(m\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Воздух внутри нижней части ничего не даёт: он такой же, как снаружи. Работает только
водород, который вытесняет воздух своего объёма.
Объём водорода \(V = \dfrac{m}{\mu_{\text{H}_2}}\dfrac{RT}{P}\); вытесненный воздух весит
\[ \rho_{\text{возд}}Vg = \frac{\mu_{\text{возд}}P}{RT}\cdot \frac{mRT}{\mu_{\text{H}_2}P}\,g = m g\,\frac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{H}_2}}. \]Подъёмная сила равна этому минус вес самого водорода:
\[ F = mg\left(\frac{29}{2}-1\right) = 13{,}5\,mg, \qquad \boxed{M_{\max} = 13{,}5\,m} \]Проверка.
Ответ не зависит ни от высоты, ни от температуры ✓ — прямое следствие задачи 5.5.13.
Один килограмм водорода поднимает 13,5 кг груза ✓ — знакомая «грузоподъёмность» аэростата
(для гелия было бы \(29/4-1 = 6{,}25\)).
Условие «воздух свободно проникает» существенно ✓: оно означает, что давление внутри равно
наружному и оболочка не работает как сосуд под давлением.
Ответ \(M = 13{,}5\,m\).