Задача 5.5.29минимальный радиус шара
Условие
При каком наименьшем радиусе станет подниматься воздушный шар, наполненный гелием, если поверхностная плотность материала оболочки 50 г/м², давление воздуха \(10^5\) Па, а температура 27 °C?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Подъёмная сила растёт как \(r^3\), а вес оболочки — как \(r^2\). Значит есть
критический радиус, ниже которого шар не полетит.
Плотности при \(P=10^5\) Па, \(T=300\) К:
\[ \rho_{\text{возд}} = \frac{P\mu}{RT} = \frac{10^5\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot300} = 1{,}163\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}, \qquad \rho_{\text{He}} = 0{,}160\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}. \]Условие подъёма:
\[ (\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})\,\frac43\pi r^3 \ge \sigma_{\text{пов}}\,4\pi r^2 \ \Longrightarrow\ r \ge \frac{3\sigma_{\text{пов}}}{\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}}. \] \[ r \ge \frac{3\cdot0{,}05}{1{,}003} \approx 0{,}15\ \text{м}, \qquad \boxed{r_{\min} \approx 15\ \text{см}} \]Проверка.
Масса оболочки при \(r=15\) см: \(0{,}05\cdot4\pi\cdot0{,}0225 = 14{,}1\) г;
подъёмная сила \(1{,}003\cdot\tfrac43\pi\cdot0{,}003375 = 14{,}2\) г ✓ — сходится.
Знакомый факт: маленькие шарики из плотной резины не летают ✓, а большие — да.
Зависимость \(r_{\min}\propto\sigma_{\text{пов}}\) ✓: вдвое более тонкая плёнка вдвое
уменьшает критический радиус.
Размерность: (кг/м²)/(кг/м³) = м ✓.
Ответ \(r\approx15\) см.