Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.5. Уравнение состояния идеального газа

Савченко, задача 5.5.30

Задача 5.5.30тепловой аэростат

Условие

Воздух внутри оболочки воздушного шара вместимости \(V\) нагревается газовой горелкой до температуры \(T\), превышающей температуру \(T_0\) окружающего воздуха. Какова при атмосферном давлении \(P_0\) грузоподъёмность этого шара? Молярная масса воздуха \(\mu\).

К задаче 5.5.30 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Оболочка открыта снизу, поэтому давление внутри равно наружному. Разность плотностей — только за счёт температуры.

\[ m = (\rho_0-\rho)\,V = \frac{\mu P_0}{R}\left(\frac1{T_0}-\frac1T\right)V, \] \[ \boxed{m = \frac{\mu P_0 V\,(T-T_0)}{R\,T\,T_0}} \]

Проверка. При \(T=T_0\) грузоподъёмность нулевая ✓; при \(T\to\infty\) она стремится к \(\mu P_0V/(RT_0) = \rho_0V\) ✓ — весу всего вытесненного воздуха, как у вакуумного шара. Числом: \(V = 2000\) м³, \(T_0=290\) К, \(T=390\) К: \(m = 0{,}029\cdot10^5\cdot2000\cdot100/(8{,}31\cdot390\cdot290) = 617\) кг ✓ — реалистичная грузоподъёмность теплового аэростата. Размерность ✓. Нагревать сильнее 400 К нельзя ✓ — ткань не выдержит, отсюда и типичные объёмы в тысячи кубометров.

Ответ \(m = \mu P_0V(T-T_0)/(RTT_0)\).

Следующая задача 5.5.31 →