Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.5. Уравнение состояния идеального газа

Савченко, задача 5.5.3

Условие

Чтобы изотермически уменьшить объём газа в цилиндре с поршнем в \(n\) раз, на поршень поместили груз массы \(m\). Какой массы груз следует добавить, чтобы объём газа изотермически уменьшился ещё в \(k\) раз?

К задаче 5.5.3 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Изотерма: во сколько раз сжали, во столько выросло давление. А давление складывается из начального и «весового» \(mg/S\).

Пусть начальное давление \(P_0\), сечение поршня \(S\).

\[ P_1 = nP_0, \qquad nP_0 = P_0+\frac{mg}{S} \ \Longrightarrow\ \frac{mg}{S} = (n-1)P_0. \]

После добавления груза \(\Delta m\) объём уменьшится всего в \(nk\) раз:

\[ P_2 = nkP_0 = P_0+\frac{(m+\Delta m)g}{S} \ \Longrightarrow\ \frac{(m+\Delta m)g}{S} = (nk-1)P_0. \]

Делим одно на другое:

\[ \frac{m+\Delta m}{m} = \frac{nk-1}{n-1} \ \Longrightarrow\ \boxed{\Delta m = m\,\frac{n(k-1)}{n-1}} \]

Проверка. При \(k=1\) добавка нулевая ✓. При \(n\to\infty\) (первое сжатие было очень сильным) \(\Delta m\to m(k-1)\) ✓ — и правда, тогда \(P_0\) пренебрежимо и давление просто пропорционально грузу. При \(n\to1\) добавка \(\to\infty\) ✓ — первый груз почти ничего не сжал, значит \(P_0\) огромно по сравнению с \(mg/S\), и для нового сжатия нужен несравнимо больший груз. Размерность ✓, \(\Delta m>0\) при \(k>1\) ✓.

Ответ \(\Delta m = mn(k-1)/(n-1)\).

Следующая задача 5.5.4 →