На два длинных цилиндрических мешка радиуса \(r\) и длины \(L\gg r\), сделанных из
нерастяжимого материала и заполненных газом, положили плиту массы \(m\), в результате чего
они сплющились до толщины \(h\ll r\). Внешнее давление \(P_0\). Определите начальное
давление в мешках, если температура газа не изменялась.
К задаче 5.5.4 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Материал нерастяжим, значит периметр сечения мешка не меняется. Отсюда — и площадь
контакта с плитой, и конечный объём.
Геометрия. Периметр сечения \(2\pi r\) сохраняется. Сплющенное сечение — почти
прямоугольник ширины \(w\) и толщины \(h\); его периметр \(2w+\pi h\approx2\pi r\),
откуда
\[ w \approx \pi r, \qquad S_{\text{сеч}} \approx w h = \pi r h. \]
Давление после. Плита опирается на два мешка суммарной площадью \(2wL=2\pi rL\):
\[ P_1 = P_0 + \frac{mg}{2\pi rL}. \]
Закон Бойля (объём одного мешка был \(\pi r^2L\), стал \(\pi rhL\)):
\[ P\cdot\pi r^2L = P_1\cdot\pi r h L
\ \Longrightarrow\
\boxed{P = \frac hr\left(P_0+\frac{mg}{2\pi rL}\right)
= \frac{P_0h}{r}+\frac{mgh}{2\pi r^2L}} \]
Проверка.
Размерность ✓. Оба слагаемых — давления ✓.
Так как \(h\ll r\), объём мешка сильно уменьшился, значит давление сильно выросло: чтобы
начальное \(P\) было больше \(P_0\) (иначе мешок не был бы круглым), нужна тяжёлая
плита — и правда, доминирует второе слагаемое \(mgh/(2\pi r^2L)\) ✓.
В «Ответах» книги — \(P_0+mgh/(2\pi r^2L)\): второе слагаемое то же самое ✓, но при
\(P_0\) потерян множитель \(h/r\). Так выходит, если закон Бойля применить к
избыточному давлению; применять его надо к полному — по-видимому, в книге описка.
Предел \(h\to r\) (плита ничего не сплющила) даёт \(P\to P_0\) ✓ при \(m=0\).
Ответ
\(P = \dfrac hr\left(P_0+\dfrac{mg}{2\pi rL}\right)\).