Мыльный пузырь, заполненный горячим воздухом, неподвижно висит в атмосфере. Атмосферное
давление \(P_0\) и температура \(T_0\). Плотность мыльной плёнки \(\rho\), её толщина
\(\delta\), радиус пузыря \(r\). Найдите температуру воздуха внутри, если поверхностное
натяжение мыльной воды \(\sigma\). Молярная масса воздуха \(\mu\).
К задаче 5.5.33 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Три вклада: выталкивающая сила (по наружному воздуху), вес плёнки и вес горячего воздуха
внутри. Не забыть, что внутри давление больше на \(4\sigma/r\) (у пузыря две
поверхности).
Условие равновесия (делим всё на \(\tfrac43\pi r^3 g\)):
\[ \frac{\mu\,(P_0r+4\sigma)}{rRT} = \frac{P_0\mu}{RT_0}-\frac{3\delta\rho}{r}, \]
\[ \boxed{T = \frac{T_0\,\mu\,(P_0r+4\sigma)}{\mu P_0 r - 3\delta\rho R T_0}} \]
Проверка.
Если плёнка невесома \((\delta\to0)\) и \(\sigma\to0\), получаем \(T=T_0\) ✓ —
висеть может и холодный пузырь.
Знаменатель обращается в нуль при \(\delta = \mu P_0r/(3\rho RT_0)
= \rho_{\text{возд}}r/(3\rho)\) ✓ — слишком толстая плёнка не даст пузырю висеть ни при
какой температуре. Для \(r=5\) см это \(\delta\approx20\) мкм ✓, а реальные плёнки
в сотни раз тоньше — запас есть.
Числом: \(r=5\) см, \(\delta=1\) мкм, \(\rho=10^3\), \(T_0=300\) К:
\(3\delta\rho RT_0 = 7{,}5\); \(\mu P_0r = 145\); \(4\sigma = 0{,}16\) — получаем
\(T\approx317\) К ✓, то есть нагреть надо всего на 17 градусов.
Все размерности сходятся ✓.
Ответ
\(T = T_0\mu(P_0r+4\sigma)\big/\big(\mu P_0r-3\delta\rho RT_0\big)\).