Задача 5.5.34слияние пузырей
Условие
Два мыльных пузыря радиуса \(r_1\) и \(r_2\) сливаются в один. Найдите поверхностное натяжение мыльной воды, если радиус образовавшегося пузыря равен \(r\), а атмосферное давление равно \(P_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сохраняется количество воздуха. Записываем \(PV\) для каждого пузыря, помня, что
\(P_i = P_0+4\sigma/r_i\).
\[ \left(P_0+\frac{4\sigma}{r_1}\right)\frac43\pi r_1^3
+\left(P_0+\frac{4\sigma}{r_2}\right)\frac43\pi r_2^3
=\left(P_0+\frac{4\sigma}{r}\right)\frac43\pi r^3. \]
Сокращая \(\tfrac43\pi\) и раскрывая скобки:
\[ P_0\,(r_1^3+r_2^3) + 4\sigma\,(r_1^2+r_2^2) = P_0 r^3 + 4\sigma r^2, \] \[ \boxed{\sigma = \frac{P_0}{4}\cdot\frac{r_1^3+r_2^3-r^3}{r^2-r_1^2-r_2^2}} \]Проверка.
Если \(\sigma=0\), то \(r^3 = r_1^3+r_2^3\) ✓ — просто сложение объёмов.
При реальном \(\sigma>0\) объём слегка уменьшается по сравнению с суммой
\((r^3<r_1^3+r_2^3)\), потому что площадь стала меньше и лапласовское давление —
тоже… — знаки в числителе и знаменателе согласованы ✓: оба выражения одного знака.
Размерность: Па·м³/м² = Па·м = Н/м ✓.
Числом: \(r_1=r_2=1\) см, вода мыльная \(\sigma=0{,}04\) Н/м, \(P_0=10^5\) Па:
из формулы \(r\approx1{,}2599\) см \((2^{1/3})\) с поправкой порядка \(10^{-5}\) ✓ —
эффект крошечный, поэтому в опыте \(\sigma\) так измерять трудно.
Ответ
\(\sigma = \dfrac{P_0}{4}\dfrac{r_1^3+r_2^3-r^3}{r^2-r_1^2-r_2^2}\).