Найдите период малых колебаний поршня массы \(m\), разделяющего гладкий цилиндрический
сосуд сечения \(S\) на две части длины \(l\) каждая. По обе стороны от поршня находится
газ при давлении \(P_0\) и температуре \(T_0\). При колебании поршня температура газа не
меняется.
К задаче 5.5.35 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сдвиньте поршень на \(x\): с одной стороны газ сжался, с другой расширился. Разность
давлений линейна по \(x\) — значит это «пружинка», и колебания гармонические.
Проверка.
Размерность: \(\sqrt{\text{кг}\cdot\text{м}/(\text{Па}\cdot\text{м}^2)}
= \sqrt{\text{кг}\cdot\text{м}/\text{Н}} = \) с ✓.
Чем длиннее сосуд, тем «мягче» газовая пружина и тем больше период ✓.
Если бы колебания были быстрыми (адиабатическими), жёсткость выросла бы в \(\gamma\) раз
и период уменьшился в \(\sqrt\gamma\) ✓ — это классический опыт Клемана и Дезорма по
измерению \(\gamma\).
Числом: \(m=0{,}1\) кг, \(l=0{,}2\) м, \(S=10\) см², \(P_0=10^5\) Па:
\(T=2\pi\sqrt{0{,}02/200}=0{,}063\) с ✓ — около 16 Гц.
Температура в ответ не вошла ✓ — она спрятана в \(P_0\).