Задача 5.5.6трубка с жидкостью
Условие
На какую глубину в жидкость плотности \(\rho\) надо погрузить открытую трубку длины \(L\), чтобы, закрыв верхнее отверстие, вынуть столбик жидкости высоты \(L/2\)? Атмосферное давление \(P\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пока трубка открыта сверху, воздух свободно выходит и жидкость внутри встаёт вровень с
наружным уровнем. Закрыв трубку, мы запираем оставшийся воздух — вот он-то и удержит
столбик, когда трубку вынут.
В жидкости. Нижний конец на глубине \(x\), трубка открыта сверху, поэтому уровни внутри и снаружи совпадают: столбик жидкости внутри имеет высоту \(x\), а запираемый воздух — длину \(L-x\) при атмосферном давлении \(P\).
После того как вынули. Столбик стал \(L/2\), значит воздушный столб тоже \(L/2\). Снизу трубка открыта, там атмосферное давление; поднимаясь по столбику жидкости вверх, теряем \(\rho g L/2\):
\[ P_{\text{возд}} = P-\frac{\rho g L}{2}. \]Закон Бойля для запертого воздуха:
\[ P\,(L-x) = \left(P-\frac{\rho gL}{2}\right)\frac L2. \] \[ L-x = \frac L2-\frac{\rho gL^2}{4P} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x = \frac L2\left(1+\frac{\rho gL}{2P}\right)} \]Проверка.
При \(\rho gL\ll P\) получаем \(x\approx L/2\) ✓ — короткая трубка: сколько погрузили,
столько и вынули, воздух почти не сжимается.
При \(\rho gL = 2P\) выходит \(x=L\) ✓ — трубку надо утопить целиком, а воздух внутри
сожмётся до нуля… точнее, при таком \(L\) (для воды это 20 м) задача становится
предельной.
Ответ больше \(L/2\) ✓ — часть жидкости вытекает, пока трубку вынимают, и погружать надо
с запасом.
Размерность: \(\rho gL/P\) безразмерно ✓.
Числом: вода, \(L=1\) м, \(P=10^5\) Па: \(x = 0{,}5(1+0{,}049)=0{,}52\) м ✓ — почти
ровно половина, поправка 5 %.
Ответ
\(x = \dfrac L2\left(1+\dfrac{\rho gL}{2P}\right)\).