Средняя энергия одной молекулы газа в широком диапазоне температуры достаточно точно определяется формулой \(\bar\varepsilon=\dfrac{i}{2}kT\), где \(i\) — число степеней свободы молекулы, равное числу координат, определяющих положение молекулы. Найдите, пользуясь этой формулой, среднюю энергию молекул \(\mathrm{H_2}\), \(\mathrm{N_2}\), \(\mathrm{H_2O}\), \(\mathrm{CH_4}\) при температуре \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Начнём с самого простого. Чтобы указать, где находится одиночный атом, нужно три числа — три его координаты \(x,\ y,\ z\). Значит, у одноатомной молекулы \(i=3\).
Двухатомная молекула (\(\mathrm{H_2}\), \(\mathrm{N_2}\)) — это «гантель»: два шарика на жёсткой перемычке. Зададим сначала положение её середины — это ещё три числа. Осталось указать, куда смотрит ось гантели. Направление в пространстве задаётся двумя углами (как широта и долгота на глобусе). А вот третий поворот — вокруг самой оси гантели — переставляет атомы «сами в себя»: положение атомов от него не меняется, и лишней координаты он не даёт. Итого
\[ i_{\text{двухат.}}=3+2=5 . \]Нелинейная многоатомная молекула (\(\mathrm{H_2O}\) — равнобедренный треугольник, \(\mathrm{CH_4}\) — тетраэдр) уже не имеет оси, вокруг которой её можно было бы «незаметно» повернуть. Три числа задают центр, и ещё три угла — ориентацию жёсткого тела в пространстве (два угла на направление одной выделенной оси плюс один угол поворота вокруг неё). Итого
\[ i_{\text{нелин.}}=3+3=6 . \]Подставляем в формулу \(\bar\varepsilon=\dfrac{i}{2}kT\):
\[ \bar\varepsilon_{\mathrm{H_2}}=\bar\varepsilon_{\mathrm{N_2}}=\frac{5}{2}kT,\qquad \bar\varepsilon_{\mathrm{H_2O}}=\bar\varepsilon_{\mathrm{CH_4}}=3kT . \]