Задача 5.6.10изотерма против изобары
Условие
Объём газа увеличился в два раза: один раз изотермически, другой раз изобарически. В каком из этих двух случаев газ совершит бо́льшую работу?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяРабота — это площадь под графиком \(P(V)\). Оба процесса стартуют из одной точки \((V_0,P_0)\) и заканчиваются при \(V=2V_0\). Значит, сравнивать надо просто две площади над одним и тем же отрезком оси \(V\), а для этого достаточно посмотреть, какой график идёт выше.
При изобарическом расширении давление всё время равно \(P_0\). При изотермическом оно падает: \(P=\dfrac{P_0V_0}{V}\), и к концу становится \(P_0/2\). Изотерма лежит ниже изобары везде, кроме общей начальной точки, — значит, и площадь под ней меньше.
Посчитаем:
\[ A_{\text{изобар}}=P_0\,(2V_0-V_0)=P_0V_0,\qquad A_{\text{изотерм}}=P_0V_0\ln\frac{2V_0}{V_0}=P_0V_0\ln2\approx0{,}69\,P_0V_0 . \]Работа при изобарическом расширении больше — примерно в \(1/\ln2\approx1{,}44\) раза.
Проверка. Разумно ли это «физически»? При изобарическом расширении газ приходится ещё и греть (температура растёт вдвое), молекулы бьют по поршню сильнее — вот и работа больше. При изотермическом газ лишь поддерживают при прежней температуре, давление падает, и толкает он слабее. Грубая оценка снизу и сверху для изотермы: площадь под убывающей кривой заведомо больше площади прямоугольника с меньшим давлением \(\;\frac{P_0}{2}V_0=0{,}5P_0V_0\;\) и меньше \(\;P_0V_0\); значение \(0{,}69P_0V_0\) в этот «коридор» попадает.
ОтветПри изобарическом расширении: \(A_{\text{изобар}}=P_0V_0\) против \(A_{\text{изотерм}}=P_0V_0\ln2\approx0{,}69P_0V_0\).