Один моль газа, участвующий в процессе, график которого представлен на рисунке, проходит последовательно состояния 1, 2, 3. Внутренняя энергия газа пропорциональна температуре (\(U=cT\)). Найдите количество теплоты, поглощённой газом в этом процессе.
К задаче 5.6.14: изохора 1–2, затем изобара 2–3.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяПервое начало: \(Q=\Delta U+A\). Изменение внутренней энергии зависит только от начального и конечного состояний, и температуры этих состояний легко выражаются через \(P\) и \(V\) по уравнению Клапейрона—Менделеева. Работа — площадь под ломаной; на вертикальном участке она равна нулю.
Работа. На участке 1–2 объём не меняется (\(\Delta V=0\)), поршень стоит — работа равна нулю. На участке 2–3 давление постоянно и равно \(P_2\):
Изменение внутренней энергии. Для одного моля \(PV=RT\), то есть \(T=\dfrac{PV}{R}\). Начальное состояние 1: \(T_1=\dfrac{P_1V_1}{R}\); конечное состояние 3: \(T_3=\dfrac{P_2V_2}{R}\). Тогда
Проверка. Полезно узнать в ответе знакомую формулу. Для идеального газа \(c=C_V\), и если газ одноатомный (\(c=\frac32R\)), а процесс — только изобара (\(P_1=P_2=P\)), получится \(Q=\frac32P(V_2-V_1)+P(V_2-V_1)=\frac52P\Delta V\), то есть \(Q=C_p\Delta T\) с \(C_p=\frac52R\) — всё как в учебнике. Проверим и знаки: если газ сначала сжали бы (\(V_2\;{\lt}\;V_1\)) при \(P_2\;{\lt}\;P_1\), обе скобки стали бы отрицательными и \(Q\;{\lt}\;0\) — газ отдавал бы тепло, что естественно. Наконец, размерность: \(c/R\) безразмерно, \(PV\) — джоули. Всё сходится.
Ответ\(Q=\dfrac{c}{R}(P_2V_2-P_1V_1)+P_2(V_2-V_1)\), где \(R\) — газовая постоянная.