Задача 5.6.15работа при изотерме
Условие
Воздух, занимавший объём 2 л при давлении 0,8 МПа, изотермически расширился до 10 л. Определите работу, совершённую воздухом.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяРабота при изотермическом расширении — площадь под гиперболой \(P=\dfrac{P_1V_1}{V}\). Разобьём интервал на множество узких полосок: каждая даёт \(P\,\Delta V=P_1V_1\dfrac{\Delta V}{V}\), а сумма величин \(\Delta V/V\) при переходе от \(V_1\) к \(V_2\) — это в точности натуральный логарифм \(\ln\dfrac{V_2}{V_1}\).
Итак,
\[ A=P_1V_1\ln\frac{V_2}{V_1}\;\Bigl(=\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}\Bigr). \]Считаем в системе СИ: \(P_1=0{,}8\ \text{МПа}=8\cdot10^5\) Па, \(V_1=2\ \text{л}=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^3\), \(V_2/V_1=5\).
\[ P_1V_1=8\cdot10^5\cdot2\cdot10^{-3}=1600\ \text{Дж},\qquad \ln5\approx1{,}61 , \] \[ A=1600\cdot1{,}61\approx2{,}6\cdot10^3\ \text{Дж}=2{,}6\ \text{кДж}. \]Проверка. Оценим ту же площадь «руками», не пользуясь логарифмом. Разобьём участок \(2\to10\) л на четыре куска по 2 л и на каждом возьмём среднее из давлений на краях (метод трапеций). Давления (в МПа): при 2 л — 0,8; при 4 — 0,4; при 6 — 0,267; при 8 — 0,2; при 10 — 0,16. Полусуммы: 0,6; 0,333; 0,233; 0,18. Работа \(\approx(0{,}6+0{,}333+0{,}233+0{,}18)\cdot10^6\cdot2\cdot10^{-3}=2{,}7\) кДж. Трапеции всегда чуть завышают площадь под выпуклой кривой — и действительно, 2,7 немного больше точных 2,6 кДж. Ещё грубая рамка: работа заведомо больше \(P_2\Delta V=0{,}16\cdot10^6\cdot8\cdot10^{-3}=1{,}3\) кДж и меньше \(P_1\Delta V=6{,}4\) кДж.
Ответ\(A\approx2{,}6\) кДж.