Задача 5.6.17изобарный нагрев водорода
Условие
Один моль водорода, имевший температуру \(0\ {}^\circ\)C, нагревается при постоянном давлении. Какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы его объём удвоился? Какая работа при этом будет совершена газом?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяПри постоянном давлении объём пропорционален температуре (закон Гей-Люссака). Удвоение объёма — это удвоение абсолютной температуры. Дальше — стандартные формулы: \(A=P\Delta V=\nu R\Delta T\) и \(Q=C_p\,\nu\,\Delta T\) с \(C_p=\dfrac{i+2}{2}R\).
Температуры. \(T_1=273\) К, при удвоении объёма \(T_2=2T_1=546\) К, значит
\[ \Delta T=T_1=273\ \text{К}. \]Работа. Для одного моля \(PV=RT\), поэтому при постоянном \(P\)
\[ A=P\,\Delta V=R\,\Delta T=8{,}31\cdot273\approx2{,}27\cdot10^3\ \text{Дж}=2{,}27\ \text{кДж}. \]Теплота. Водород двухатомен, \(i=5\), молярная теплоёмкость при постоянном давлении
\[ C_p=\frac{i+2}{2}R=\frac72R=3{,}5\cdot8{,}31\approx29{,}1\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} , \] \[ Q=C_p\,\Delta T=29{,}1\cdot273\approx7{,}94\cdot10^3\ \text{Дж}=7{,}94\ \text{кДж}. \]Проверка. Проверим баланс первого начала: \(\Delta U=Q-A=7{,}94-2{,}27=5{,}67\) кДж. С другой стороны, \(\Delta U=\dfrac52R\Delta T=2{,}5\cdot8{,}31\cdot273=5{,}67\) кДж — сошлось точно. Полезное соотношение: доля работы в подведённом тепле равна \(\dfrac{A}{Q}=\dfrac{R}{C_p}=\dfrac{2}{7}\approx29\%\); остальные 71 % идут на разогрев самого газа. Никакая изобара двухатомного газа не может отдать в работу больше \(2/7\) подведённого тепла.
Ответ\(Q\approx7{,}94\) кДж; \(\ A\approx2{,}27\) кДж.