Один моль газа участвует в циклическом процессе, график которого, состоящий из двух изохор и двух изобар, представлен на рисунке. Температура в точках 1 и 3 равна \(T_1\) и \(T_3\). Определите работу, совершённую газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.
К задаче 5.6.18: прямоугольный цикл из двух изохор и двух изобар.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяРабота за цикл — площадь прямоугольника, \(A=(P_2-P_1)(V_2-V_1)\). Раскроем скобки: получатся четыре произведения вида \(PV\), а каждое такое произведение для моля — это \(RT\) соответствующей вершины. Условие «точки 2 и 4 на одной изотерме» как раз и позволяет выразить неизвестные \(T_2=T_4\) через \(T_1\) и \(T_3\).
Шаг 1. Температуры вершин. Для одного моля \(PV=RT\). Обозначим вершины: 1 = \((V_1,P_1)\), 2 = \((V_1,P_2)\), 3 = \((V_2,P_2)\), 4 = \((V_2,P_1)\). Тогда
Проверка. Ответ неотрицателен при любых \(T_1,T_3\) — как и положено площади. Если \(T_3=T_1\), прямоугольник вырождается в точку и \(A=0\) — формула это даёт. Числовой пример: \(T_1=300\) К, \(T_3=600\) К. Тогда \(A=8{,}31(\sqrt{600}-\sqrt{300})^2=8{,}31(24{,}49-17{,}32)^2=8{,}31\cdot51{,}4\approx427\) Дж. Проверим напрямую: \(T_2=T_4=\sqrt{300\cdot600}=424{,}3\) К; возьмём \(V_1=1\) л, тогда \(P_1=RT_1/V_1=2{,}49\) МПа, \(P_2=RT_2/V_1=3{,}53\) МПа, \(V_2=RT_3/P_2=1{,}414\) л. Площадь \((3{,}53-2{,}49)\cdot10^6\cdot(1{,}414-1)\cdot10^{-3}=1{,}04\cdot10^6\cdot4{,}14\cdot10^{-4}\approx430\) Дж — совпало.