Поршень массы \(M\), закрывающий объём \(V_0\) одноатомного газа при давлении \(P_0\) и температуре \(T_0\), движется со скоростью \(u\). Определите температуру и объём газа при максимальном сжатии. Система теплоизолирована, теплоёмкостями поршня и сосуда пренебречь.
К задаче 5.6.19: летящий поршень сжимает газ.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяМаксимальное сжатие — это момент, когда поршень на мгновение останавливается. Вся его кинетическая энергия к этому моменту перешла во внутреннюю энергию газа (больше некуда: система теплоизолирована, снаружи вакуум). Это даёт температуру. А объём находим из уравнения адиабаты — процесс идёт без теплообмена.
Объём. Сжатие адиабатическое. Для одноатомного газа \(\gamma=\dfrac53\), и уравнение адиабаты в переменных \(T,V\) имеет вид \(TV^{\gamma-1}=\text{const}\), то есть
Проверка. Если поршень еле ползёт (\(u\to0\)), то \(T\to T_0\) и \(V\to V_0\) — ничего не происходит. Если, наоборот, поршень очень быстрый (\(Mu^2\gg P_0V_0\)), то \(T\propto u^2\) растёт неограниченно, а \(V\propto u^{-3}\) стремится к нулю: газ «схлопывается». Проверим и знак: \(V\;{\lt}\;V_0\), газ действительно сжат. Числа: \(M=1\) кг, \(u=10\) м/с, \(P_0V_0=100\) Дж (литр при атмосферном давлении) дают \(Mu^2=100\) Дж, \(T/T_0=1+100/300=1{,}33\) и \(V/V_0=(300/400)^{1{,}5}=0{,}65\). Заметьте: после этого момента поршень пойдёт назад — газ сработает как пружина.