Сжатый воздух поступает в цилиндр пневматического двигателя из магистрали постоянного давления при температуре \(T_1\). Затем доступ в цилиндр воздуха из магистрали перекрывается. Оказавшийся в цилиндре воздух продолжает двигать поршень, расширяясь без теплообмена, пока давление не упадёт до атмосферного, а температура — до \(T_2\). Затем поршень движется назад и через открывшийся клапан вытесняет весь воздух из цилиндра. После этого весь цикл повторяется. Найдите работу двигателя при расходе им \(\nu\) молей сжатого воздуха.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть за цикл через двигатель проходит \(\nu\) молей. Обозначим объём в цилиндре в конце впуска \(V_1\), в конце расширения \(V_2\); по уравнению состояния
\[ P_1V_1=\nu RT_1,\qquad P_0V_2=\nu RT_2 . \]
1. Впуск. Магистраль вталкивает в цилиндр порцию газа, всё время удерживая давление \(P_1\); поршень отъезжает, освобождая объём \(V_1\). Работа, полученная поршнем:
\[ A_{\text{впуск}}=P_1V_1=\nu RT_1 . \]2. Адиабатическое расширение. Тепла нет, поэтому работа газа равна убыли его внутренней энергии. Воздух двухатомен, \(i=5\):
\[ A_{\text{расш}}=-\Delta U=\frac52\nu R\,(T_1-T_2) . \]3. Выхлоп. Поршень идёт назад и выталкивает весь газ наружу против атмосферного давления \(P_0\). Это работа, которую двигатель тратит:
\[ A_{\text{выхл}}=-P_0V_2=-\nu RT_2 . \]Итого:
\[ A=\nu RT_1+\frac52\nu R(T_1-T_2)-\nu RT_2=\nu R(T_1-T_2)+\frac52\nu R(T_1-T_2), \] \[ \boxed{\;A=\frac72\,\nu R\,(T_1-T_2)\;} \]