Задача 5.6.21воздух через перевал
Условие
Сухой воздух переносится слабым ветром через горный перевал высоты 1 км. Оцените, на сколько температура воздуха на перевале ниже, чем у подножья гор.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяПоднимаясь, порция воздуха попадает в область более низкого давления и расширяется. Ветер слабый, порция большая — обмениваться теплом с соседями она не успевает, значит расширение адиабатическое, и воздух остывает. Чтобы посчитать, на сколько, удобно записать энергетический баланс для порции, которую «проталкивают» снизу вверх.
Баланс энергии для одного моля. Проследим за молем воздуха, который поднялся на высоту \(h\). Что с ним произошло?
- Воздух, идущий следом, вытолкнул его снизу, совершив работу \(P_1V_1=RT_1\).
- Наверху нашему молю самому пришлось раздвинуть окружающий воздух, отдав \(P_2V_2=RT_2\).
- Он поднялся на высоту \(h\), запасая потенциальную энергию \(\mu g h\) (\(\mu\) — молярная масса).
- Его внутренняя энергия изменилась на \(C_V(T_2-T_1)\), тепла он не получал.
Складывая (энергия ниоткуда не берётся):
\[ RT_1-RT_2=C_V(T_2-T_1)+\mu gh . \]Обозначим \(\Delta T=T_1-T_2\;{\gt}\;0\) и соберём слагаемые:
\[ (R+C_V)\,\Delta T=\mu gh\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;\Delta T=\frac{\mu g h}{C_p}\;},\qquad C_p=R+C_V=\frac72R . \]Числа. \(\mu=0{,}029\) кг/моль, \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), \(h=1000\) м, \(C_p=3{,}5\cdot8{,}31=29{,}1\) Дж/(моль·К):
\[ \Delta T=\frac{0{,}029\cdot9{,}8\cdot1000}{29{,}1}\approx9{,}8\ \text{К}\approx10\ {}^\circ\text{C}. \]Проверка. Величина \(\mu g/C_p\approx9{,}8\ {}^\circ\)C на километр называется сухоадиабатическим градиентом и хорошо известна метеорологам: реальный воздух в тропосфере остывает примерно на \(6\ {}^\circ\)C на километр — меньше нашей оценки как раз потому, что он не сухой, и конденсация водяного пара подогревает поднимающуюся порцию. Проверим ещё и формулу «по смыслу»: чем тяжелее газ (больше \(\mu\)) и чем меньше его теплоёмкость, тем сильнее охлаждение — логично, ведь на подъём тратится больше энергии, а «запаса» тепла меньше. Кстати, отсюда же родом фён — тёплый ветер с гор: воздух, спускаясь по другому склону, нагревается ровно по этому же закону.
Ответ\(\Delta t=\dfrac{\mu g h}{C_p}\approx10\ {}^\circ\)C.