Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.6. Первое начало термодинамики. Теплоёмкость

Савченко, задача 5.6.22

Задача 5.6.22максимальная скорость поршня

Условие

В откачанном пространстве вертикально стоит цилиндрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем массы \(M\). Под поршнем находится одноатомный газ при температуре \(T\) и давлении \(P\). Внутреннее сечение цилиндра \(S\), высота той части сосуда, внутри которой находится газ, \(H\). Поршень отпустили. Он начал двигаться. Чему равна максимальная скорость, развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически? адиабатически?

К задаче 5.6.22: снаружи пустота, поршень давит на газ своим весом.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

ИдеяПоршень разгоняется, пока сила тяжести больше силы давления газа, и тормозится, когда наоборот. Значит, максимальная скорость — в тот момент, когда эти силы сравнялись: \(P(x)S=Mg\). Найдём из этого условия, на сколько опустился поршень, а затем запишем закон сохранения энергии: убыль потенциальной энергии минус работа, затраченная на сжатие газа, равна кинетической энергии поршня.

Пусть поршень опустился на \(x\); высота газового столба стала \(H-x\), объём \(S(H-x)\). Введём для краткости безразмерный параметр

\[ k=\frac{PS}{Mg}\;{\lt}\;1 \]

(он меньше единицы — иначе поршень не пошёл бы вниз). В начальный момент газ давит с силой \(PS=kMg\), то есть слабее веса.

а) Изотермическое сжатие

Где скорость максимальна. Закон Бойля—Мариотта: \(P(x)\,S(H-x)=P\,SH\), то есть \(P(x)=\dfrac{PH}{H-x}\). Приравниваем \(P(x)S=Mg\):

\[ \frac{PSH}{H-x}=Mg\quad\Longrightarrow\quad H-x=\frac{PSH}{Mg}=kH,\qquad x=H(1-k). \]

Работа над газом. Изотермическое сжатие от \(V_0=SH\) до \(V=kSH\) требует работы

\[ W=P\,SH\,\ln\frac{V_0}{V}=PSH\ln\frac1k=-\,MgkH\ln k \]

(здесь \(PSH=kMgH\); поскольку \(k\;{\lt}\;1\), \(\ln k\;{\lt}\;0\) и \(W\;{\gt}\;0\), как и должно быть).

Энергия.

\[ \frac{Mu^2}{2}=Mgx-W=MgH(1-k)+MgkH\ln k , \] \[ \boxed{\;u_{\max}=\sqrt{2gH\left[1-\frac{PS}{Mg}+\frac{PS}{Mg}\ln\frac{PS}{Mg}\right]}\;} \]

б) Адиабатическое сжатие

Где скорость максимальна. Для одноатомного газа \(PV^{5/3}=\text{const}\):

\[ P(x)=P\left(\frac{H}{H-x}\right)^{5/3}=\frac{Mg}{S} \quad\Longrightarrow\quad \frac{H-x}{H}=k^{3/5},\qquad x=H\left(1-k^{3/5}\right). \]

Работа над газом здесь считается ещё проще: она целиком идёт в его внутреннюю энергию,

\[ W=\Delta U=\frac32\bigl(P_{\text{кон}}V_{\text{кон}}-P\,SH\bigr) =\frac32\Bigl(Mg\,H k^{3/5}-MgHk\Bigr). \]

Энергия.

\[ \frac{Mu^2}{2}=MgH\bigl(1-k^{3/5}\bigr)-\frac32MgH\bigl(k^{3/5}-k\bigr) =MgH\left[1-\frac52k^{3/5}+\frac32k\right], \] \[ \boxed{\;u_{\max}=\sqrt{2gH\left[1-\frac52\left(\frac{PS}{Mg}\right)^{3/5}+\frac32\,\frac{PS}{Mg}\right]}\;} \]

Проверка. Пусть \(k\to1\): газ с самого начала держит поршень, тот вообще не трогается. Изотерма даёт \(1-1+1\cdot\ln1=0\); адиабата — \(1-\frac52+\frac32=0\). Оба выражения честно обращаются в ноль. Другой предел, \(k\to0\) (газа почти нет): обе формулы дают \(u\to\sqrt{2gH}\) — свободное падение с высоты \(H\), правильно. Сравним при \(k=0{,}5\): изотерма \(2gH\cdot0{,}153\), адиабата \(2gH\cdot0{,}101\). Скорость при адиабатическом сжатии меньше — и это физически ожидаемо: адиабатически сжимаемый газ нагревается и сопротивляется сильнее, чем изотермический, поэтому отбирает у поршня больше энергии.

ОтветИзотермически: \(u_{\max}=\sqrt{2gH\Bigl[1-\dfrac{PS}{Mg}+\dfrac{PS}{Mg}\ln\dfrac{PS}{Mg}\Bigr]}\).
Адиабатически: \(u_{\max}=\sqrt{2gH\Bigl[1-\dfrac52\Bigl(\dfrac{PS}{Mg}\Bigr)^{3/5}+\dfrac32\dfrac{PS}{Mg}\Bigr]}\).

Следующая задача 5.6.23 →