Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.6. Первое начало термодинамики. Теплоёмкость

Савченко, задача 5.6.23

Задача 5.6.23два компрессора

Условие

Два компрессора адиабатически сжимают двухатомный газ. Сначала работает один компрессор, сжимающий газ от объёма \(V_0\) до промежуточного объёма \(V_1\). Затем сжатый газ охлаждается до начальной температуры, после чего в работу вступает второй компрессор, сжимающий газ до объёма \(V_2\). При каком объёме \(V_1\) полная работа обоих компрессоров минимальна и чему она равна? Объёмы \(V_0\) и \(V_2\) считать заданными, начальное давление газа \(P_0\). Работа какого компрессора при оптимальном значении \(V_1\) больше?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

ИдеяРабота при адиабатическом сжатии равна приросту внутренней энергии, а прирост внутренней энергии выражается через \(\Delta(PV)\). После промежуточного охлаждения газ возвращается к прежней температуре, то есть к прежнему значению \(PV\), — благодаря этому обе работы получаются похожими по виду, и минимум суммы находится по неравенству о среднем.

Первый компрессор. Адиабата двухатомного газа: \(\gamma=\dfrac75\), \(PV^{7/5}=\text{const}\). Тогда

\[ P_1V_1=P_0V_0\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma-1}=P_0V_0\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{2/5} , \] \[ A_1=\Delta U=\frac52\bigl(P_1V_1-P_0V_0\bigr)=\frac52P_0V_0\left[\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{2/5}-1\right]. \]

Охлаждение. Газ вернули к начальной температуре при объёме \(V_1\): значит, снова \(P_1'V_1=P_0V_0\).

Второй компрессор стартует из состояния с тем же произведением \(PV=P_0V_0\), поэтому формула повторяется с заменой \(V_0\to V_1\), \(V_1\to V_2\):

\[ A_2=\frac52P_0V_0\left[\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{2/5}-1\right]. \]

Минимум суммы. Обозначим \(a=\left(\dfrac{V_0}{V_1}\right)^{2/5}\), \(b=\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{2/5}\). Замечательно, что их произведение не зависит от \(V_1\):

\[ ab=\left(\frac{V_0}{V_1}\cdot\frac{V_1}{V_2}\right)^{2/5}=\left(\frac{V_0}{V_2}\right)^{2/5}=\text{const}. \]

А сумма двух положительных чисел с фиксированным произведением минимальна, когда они равны (неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\), равенство при \(a=b\)). Значит,

\[ \frac{V_0}{V_1}=\frac{V_1}{V_2}\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;V_1=\sqrt{V_0V_2}\;} \]

— оптимально сжимать в одинаковое число раз в каждой ступени. Подставляем \(a=b=\left(\dfrac{V_0}{V_2}\right)^{1/5}\):

\[ A_{\min}=\frac52P_0V_0\bigl[a+b-2\bigr]=\boxed{\;5P_0V_0\left[\left(\frac{V_0}{V_2}\right)^{1/5}-1\right]\;} \]

Поскольку при оптимуме \(a=b\), то \(A_1=A_2\): каждый компрессор совершает ровно половину полной работы, \(A_{\min}/2\).

Проверка. Сравним с одноступенчатым сжатием сразу от \(V_0\) до \(V_2\): \(A_{\text{1 ступ}}=\frac52P_0V_0[(V_0/V_2)^{2/5}-1]\). Пусть \(V_0/V_2=32\). Тогда двухступенчато: \(5P_0V_0(32^{0{,}2}-1)=5P_0V_0(2-1)=5P_0V_0\); одноступенчато: \(2{,}5P_0V_0(32^{0{,}4}-1)=2{,}5P_0V_0(4-1)=7{,}5P_0V_0\). Экономия в полтора раза — именно поэтому промышленные компрессоры делают многоступенчатыми с промежуточными холодильниками. Проверим и предел \(V_2\to V_0\) (сжимать не надо): \(A_{\min}\to0\). Наконец, при \(V_2\to0\) работа растёт как \(V_2^{-1/5}\) — неограниченно, как и положено.

Ответ\(V_1=\sqrt{V_0V_2}\); \(\ A_{\min}=5P_0V_0\left[\left(\dfrac{V_0}{V_2}\right)^{1/5}-1\right]\); каждый компрессор совершает работу \(A_{\min}/2\) — они равны.

Следующая задача 5.6.24 →