Задача 5.6.24водород под тяжёлым поршнем
Условие
\(1\ \text{м}^3\) водорода при \(0\ {}^\circ\)C находится в цилиндрическом сосуде, закрытом сверху легко скользящим поршнем массы 1 т и сечения \(0{,}5\ \text{м}^2\). Атмосферное давление 973 гПа. Какое количество теплоты потребуется на нагревание водорода до \(300\ {}^\circ\)C? Найдите изменение его внутренней энергии.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяПоршень скользит легко, значит давление газа всё время одно и то же — процесс изобарный. Давление задаётся равновесием поршня: атмосфера плюс вес. Дальше — стандартные \(Q=\nu C_p\Delta T\) и \(\Delta U=\nu C_V\Delta T\), а число молей берём из начального состояния.
Давление. На поршень сверху действуют атмосфера и его вес, снизу — газ:
\[ P=P_0+\frac{Mg}{S}=97\,300+\frac{1000\cdot9{,}8}{0{,}5}=97\,300+19\,600=116\,900\ \text{Па}\approx0{,}117\ \text{МПа}. \]Число молей. Из начального состояния (\(V=1\ \text{м}^3\), \(T_1=273\) К):
\[ \nu=\frac{PV}{RT_1}=\frac{116\,900\cdot1}{8{,}31\cdot273}=\frac{116\,900}{2268{,}6}\approx51{,}5\ \text{моль}. \]Нагрев. \(T_2=573\) К, \(\Delta T=300\) К. Водород двухатомен: \(C_V=\dfrac52R\), \(C_p=\dfrac72R\).
\[ Q=\nu\,\frac72R\,\Delta T=51{,}5\cdot3{,}5\cdot8{,}31\cdot300\approx4{,}5\cdot10^{5}\ \text{Дж}=450\ \text{кДж}, \] \[ \Delta U=\nu\,\frac52R\,\Delta T=51{,}5\cdot2{,}5\cdot8{,}31\cdot300\approx3{,}21\cdot10^{5}\ \text{Дж}=321\ \text{кДж}. \]Проверка. Разность \(Q-\Delta U=450-321=129\) кДж — это работа газа. Проверим её независимо: \(V_2=V_1\dfrac{T_2}{T_1}=1\cdot\dfrac{573}{273}=2{,}10\ \text{м}^3\), значит \(A=P\Delta V=116\,900\cdot1{,}10\approx129\) кДж. Сошлось. Кстати, поршень при этом поднимется на \(\Delta V/S=1{,}10/0{,}5=2{,}2\) м, и на его подъём уйдёт \(Mg\cdot2{,}2=21{,}6\) кДж — остальные 107 кДж работы достались атмосфере. Отношение \(\Delta U/Q=5/7=71{,}4\%\) — то же, что и в задаче 5.6.17, и это не случайность: для любой изобары двухатомного газа доля одна и та же.
Ответ\(Q\approx450\) кДж; \(\ \Delta U\approx321\) кДж.