Савченко, задача 5.6.26

Решение

Этап 1: поршень неподвижен

Объём постоянен, работы нет, всё тепло идёт во внутреннюю энергию:

\[ Q=\Delta U=c\,(T-T_0)\qquad\Longrightarrow\qquad T=T_0+\frac{Q}{c}. \]

Поршень тронется, когда сила избыточного давления сравняется с трением: \((P-P_0)S=F\), то есть

\[ P_1=P_0+\frac FS=P_0\left(1+k\right),\qquad k\equiv\frac{F}{P_0S}. \]

При постоянном объёме давление растёт вместе с температурой, поэтому этому давлению отвечает

\[ T_1=T_0\,\frac{P_1}{P_0}=T_0(1+k),\qquad \boxed{\;Q_1=c\,(T_1-T_0)=\frac{cT_0F}{P_0S}\;} \]

Этап 2: поршень движется

Поршень едет медленно и равномерно, поэтому давление газа остаётся равным \(P_1=P_0(1+k)\) — процесс изобарный. Пусть газ перешёл из состояния \((T_1,V_1)\) в \((T,V)\). Считаем энергетический баланс газа.

• Работа газа: \(A=P_1(V-V_1)=R\,(T-T_1)\) (для одного моля \(P_1V=RT\)).
• Тепло от трения: поршень прошёл путь \(\ell=\dfrac{V-V_1}{S}\), трение выделило \(F\ell=\dfrac FS(V-V_1)\); половина этого возвращается в газ: \(Q_{\text{тр}}=\dfrac{F}{2S}(V-V_1)=\dfrac{F}{2S}\cdot\dfrac{R(T-T_1)}{P_1}\).
• Прирост внутренней энергии: \(\Delta U=c\,(T-T_1)\).

Первое начало для газа: \(Q-Q_1+Q_{\text{тр}}=\Delta U+A\), откуда

\[ Q-Q_1=(T-T_1)\left[c+R-\frac{RF}{2SP_1}\right]=(T-T_1)\left[c+R\,\frac{1+k/2}{1+k}\right] , \]

поскольку \(1-\dfrac{F}{2SP_1}=1-\dfrac{k}{2(1+k)}=\dfrac{1+k/2}{1+k}\). Подставляя \(T_1=T_0(1+k)\) и \(Q_1=cT_0k\) и приводя к общему знаменателю, получаем окончательно

\[ \boxed{\;T=\frac{Q+cT_0+RT_0\left(1+\dfrac{F}{2P_0S}\right)}{c\left(1+\dfrac{F}{P_0S}\right)+R\left(1+\dfrac{F}{2P_0S}\right)}\left(1+\frac{F}{P_0S}\right)\;}\qquad (Q\ge Q_1) \]

Как выглядит график. Это ломаная. На первом участке наклон \(\dfrac{dT}{dQ}=\dfrac1c\); после излома в точке \((Q_1,\,T_0(1+k))\) наклон становится равным \(\dfrac{1}{c+R\frac{1+k/2}{1+k}}\) — меньше прежнего, ведь теперь часть тепла уходит в работу. График идёт положе.