Цилиндр \(ABCD\), закрытый сверху и открытый снизу, прикреплён к стенке бассейна, заполненного водой. В верхней части цилиндра \(KBCM\) находится 1 моль гелия, отделённый от воды поршнем (\(BK=2h\)). Гелий нагревают, пропуская ток по спирали. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы поршень опустился на расстояние \(h\), \(AK\;{\gt}\;h\)? Массой поршня, трением и теплопроводностью пренебречь. Бассейн широкий. Плотность воды \(\rho\), сечение цилиндра \(S\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Договоримся об отсчёте давления. Верх цилиндра \(BC\) находится на уровне поверхности воды, поэтому глубина поршня равна высоте газового столба. Атмосферное давление в условии не задано — учитывать будем только давление водяного столба (в конце разберём, что изменится, если добавить атмосферу).
Начальное состояние. Столб газа \(2h\), поршень на глубине \(2h\):
\[ V_1=2hS,\qquad P_1=2\rho gh . \]Конечное состояние. Поршень опустился ещё на \(h\), глубина стала \(3h\):
\[ V_2=3hS,\qquad P_2=3\rho gh . \]Работа газа. Так как глубина поршня равна \(V/S\), давление \(P=\rho g\,V/S\) — линейная функция объёма. График \(P(V)\) — отрезок прямой, площадь под ним — трапеция со средней линией \(\dfrac{P_1+P_2}{2}\):
\[ A=\frac{P_1+P_2}{2}\,(V_2-V_1)=\frac{2\rho gh+3\rho gh}{2}\cdot hS=\frac52\rho g S h^2 . \]Внутренняя энергия. Гелий одноатомен:
\[ \Delta U=\frac32\bigl(P_2V_2-P_1V_1\bigr)=\frac32\bigl(3\rho gh\cdot3hS-2\rho gh\cdot2hS\bigr) =\frac32\,(9-4)\,\rho gSh^2=\frac{15}{2}\rho gSh^2 . \]Первое начало:
\[ Q=\Delta U+A=\frac{15}{2}\rho gSh^2+\frac52\rho gSh^2=\boxed{\;10\,\rho g S h^{2}\;} \]О чём стоит помнить. Мы, вслед за задачником, не учли атмосферное давление \(P_0\) над бассейном (в условии его и нет среди данных). Если его добавить, то \(P_1=P_0+2\rho gh\), \(P_2=P_0+3\rho gh\), и тот же расчёт даёт \(A=P_0Sh+\frac52\rho gSh^2\), \(\Delta U=\frac32P_0Sh+\frac{15}{2}\rho gSh^2\), то есть \[ Q=10\rho gSh^2+\frac52P_0Sh . \] Для воды глубиной в метр вторая добавка ощутимо больше первой, так что «настоящий» ответ определяется как раз атмосферой. Формула задачника отвечает идеализации, в которой над бассейном вакуум.