Найдите молярную теплоёмкость одноатомного газа, расширяющегося по закону \(PV^{\,n}=\text{const}\). При каких значениях \(n\) теплоёмкость будет равна нулю? бесконечности?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Шаг 1. Связь приращений. Пусть объём изменился на малую величину \(\Delta V\), давление — на \(\Delta P\), температура — на \(\Delta T\). Для произведения двух величин относительное изменение складывается: \(\dfrac{\Delta(PV)}{PV}=\dfrac{\Delta P}{P}+\dfrac{\Delta V}{V}\). Аналогично из \(PV^n=\text{const}\) следует
\[ \frac{\Delta P}{P}+n\,\frac{\Delta V}{V}=0 . \]А из \(PV=RT\) (берём один моль)
\[ \frac{\Delta P}{P}+\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta T}{T} . \]Вычтем первое из второго:
\[ (1-n)\,\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta T}{T}\qquad\Longrightarrow\qquad \Delta V=\frac{V}{T}\cdot\frac{\Delta T}{1-n} . \]Шаг 2. Работа.
\[ A=P\,\Delta V=\frac{PV}{T}\cdot\frac{\Delta T}{1-n}=\frac{R\,\Delta T}{1-n} . \]Шаг 3. Теплоёмкость. Для одноатомного газа \(\Delta U=\dfrac32R\,\Delta T\), значит
\[ Q=\Delta U+A=\left(\frac32R+\frac{R}{1-n}\right)\Delta T \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;c=\left(\frac{1}{1-n}+\frac32\right)R\;} \]Особые значения.
\(c=0\) означает, что газ греется и работает «сам за свой счёт», без подвода тепла, — это адиабата:
\[ \frac{1}{1-n}=-\frac32\;\Longrightarrow\;1-n=-\frac23\;\Longrightarrow\;\boxed{\,n=\frac53\,}=\gamma . \]\(c=\infty\) означает, что сколько тепла ни подводи, температура не меняется, — это изотерма:
\[ 1-n=0\;\Longrightarrow\;\boxed{\,n=1\,} . \]