Задача 5.6.3нагрели комнату
Условие
Воздух в комнате нагрели от температуры \(T_0\) до \(T\). При этом давление не изменилось. Изменилась ли внутренняя энергия воздуха внутри комнаты?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяКомната не герметична: при нагревании часть воздуха уходит наружу. Считать надо энергию не постоянной массы газа, а того газа, который в данный момент находится внутри стен. И тут снова спасает формула \(U=\dfrac{i}{2}PV\): в неё входят только давление и объём.
Объём комнаты \(V\) не меняется — это её геометрия. Давление \(P\) тоже не меняется — оно равно атмосферному, ведь комната сообщается с улицей через щели. Значит,
\[ U=\frac52 PV=\text{const} . \]Внутренняя энергия воздуха в комнате не изменилась. Это на первый взгляд парадоксально: мы жгли дрова, температура выросла — а энергия та же. Разгадка в том, что вместе с ростом температуры пропорционально упала плотность: число молекул в комнате уменьшилось во столько же раз, во сколько выросла энергия каждой. Формально: \(U=\dfrac52\nu RT\), причём \(\nu=\dfrac{PV}{RT}\) убывает как \(1/T\).
Проверка. Пусть комната \(V=50\ \text{м}^3\) нагрелась с \(280\) до \(300\) К. Число молей упало с \(\nu_0=\dfrac{10^5\cdot50}{8{,}31\cdot280}=2149\) до \(\nu=\dfrac{10^5\cdot50}{8{,}31\cdot300}=2006\) моль — примерно 4 кг воздуха вытекло на улицу. Энергия: \(2{,}5\cdot2149\cdot8{,}31\cdot280=1{,}25\cdot10^7\) Дж и \(2{,}5\cdot2006\cdot8{,}31\cdot300=1{,}25\cdot10^7\) Дж — одно и то же с точностью до округления.
ОтветНе изменилась: \(U=\dfrac52 P V\), а \(P\) и \(V\) остались прежними. Подведённое тепло ушло с покинувшим комнату воздухом.